Para cada função abaixo, calculecalcule fx, fy, fx x, fy y, fx y, fy x
(a) f(x, y)=2 x^2 y^2+x y-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de
f(x,y)=2x^2y^2+xy-1
O conteúdo envolvido é o cálculo de derivadas parciais, tratando uma variável de cada vez como constante.

Passo 2

Para achar fx e fy usamos a definição de derivada parcial:
fx=partialpartial xl(2x^2y^2+xy-1r) =4xy^2+y,
fy=partialpartial yl(2x^2y^2+xy-1r) =4x^2y+x

Passo 3

A partir de fx=4xy^2+y diferenciamos de novo para obter fxx e fxy:
fxx=partialpartial x(4xy^2+y)=4y^2,
fxy=partialpartial y(4xy^2+y)=8xy+1

Passo 4

A partir de fy=4x^2y+x diferenciamos para obter fyy e fyx:
fyy=partialpartial y(4x^2y+x)=4x^2,
fyx=partialpartial x(4x^2y+x)=8xy+1

Passo 5

Como f é C^2, esperamos que
fxy=fyx,
e de fato ambos valem 8xy+1.

Resposta

fx=4xy^2+y
fy=4x^2y+x
fxx=4y^2
fyy=4x^2
fxy=8xy+1
fyx=8xy+1

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