dado z=x^2 y^3, x(t, s)=s cos (t), y(t, s)=s sen(t), calcule zt e zs

Passo 1

O enunciado diz que temos
z = x^2,y^3, x = x(t,s) = scos(t), y = y(t,s) = ssin(t),
e pede as derivadas parciais ,zt e ,zs.
O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções de duas variáveis:
zt = zx,xt + zy,yt, zs = zx,xs + zy,ys

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de z em relação a x e a y.
Como z = x^2,y^3, temos
zx = partialpartial xl(x^2,y^3r) = 2x,y^3,
zy = partialpartial yl(x^2,y^3r) = 3x^2,y^2

Passo 3

Agora calculamos zt.
  1. Derivadas de x e y em relação a t:
xt = partialpartial t(scos t) = -ssin t, yt = partialpartial t(ssin t) = scos t
  1. Aplicando a regra da cadeia:
zt = zx,xt + zy,yt
  1. Substituindo zx, zy, xt, yt:
zt = (2x,y^3),(-ssin t) + (3x^2,y^2),(scos t)
  1. Finalmente, colocamos x = scos t e y = ssin t:
zt = 2(scos t),(ssin t)^3,(-ssin t) ;+;3,(scos t)^2,(ssin t)^2,(scos t)
Simplificando em termos de s e t:
zt = -2,s^5cos t,sin^4 t ;+;3,s^5cos^3 t,sin^2 t = s^5cos t,sin^2 t,(3cos^2 t - 2sin^2 t)

Passo 4

Agora calculamos zs.
  1. Derivadas de x e y em relação a s:
xs = partialpartial s(scos t) = cos t, ys = partialpartial s(ssin t) = sin t
  1. Regra da cadeia:
zs = zx,xs + zy,ys
  1. Substituindo zx, zy, xs, ys e depois x,y:
zs = (2x,y^3),cos t + (3x^2,y^2),sin t
zs = 2(scos t),(ssin t)^3,cos t ;+;3,(scos t)^2,(ssin t)^2,sin t
zs = 2,s^4cos^2 t,sin^3 t + 3,s^4cos^2 t,sin^3 t =5,s^4cos^2 t,sin^3 t

Resposta

zt = s^5cos t,sin^2 t,(3cos^2 t - 2sin^2 t), zs = 5,s^4cos^2 t,sin^3 t

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