Escreva as equações em coordenadas retangulares e em coordenadas polares para as curvas descritas abaixo.
A reta que passa por (2,-1) com coeficiente angular -1 .

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta com coeficiente angular -1 que passa por (2,-1) em coordenadas retangulares e em coordenadas polares. Vamos usar a forma ponto-declive para achar a equação em x,y e depois a relação
x = rcostheta, y = rsintheta
para converter ao sistema polar.

Passo 2

Na forma ponto-declive, uma reta que passa por (x0,y0) com declive m é dada por
y - y0 = m,(x - x0)
Substituindo (x0,y0)=(2,-1) e m=-1:
y - (-1) = -1l(x - 2r)
y + 1 = -x + 2
y = -x + 1

Passo 3

Para converter em coordenadas polares, substituímos x=rcostheta e y=rsintheta na equação retangular:
rsintheta = -,rcostheta + 1
rsintheta + rcostheta = 1
rl(costheta + sinthetar) = 1
portanto
r = 1costheta + sintheta

Resposta

Em coordenadas retangulares:
y = -x + 1
Em coordenadas polares:
r = 1costheta + sintheta

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