Para cada função abaixo, calculecalcule fx, fy, fx x, fy y, fx y, fy x
(b) z=sen(x) cos (y)

Passo 1

Resumindo, temos a função z=f(x,y)=sin(x)cos(y) e precisamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem: fx, fy, fxx, fyy, fxy e fyx. Vamos usar as regras básicas de derivação: ddxsin(x)=cos(x) e ddxcos(x)=-sin(x).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Para fx derivamos sin(x) em relação a x tratando cos(y) como constante. Para fy derivamos cos(y) em relação a y tratando sin(x) como constante.
fx = cos(x)cos(y)
fy = -sin(x)sin(y)

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem puras. Para fxx derivamos fx em relação a x, aplicando ddxcos(x)=-sin(x). Para fyy derivamos fy em relação a y, aplicando ddysin(y)=cos(y) e cuidando do sinal.
fxx = -sin(x)cos(y)
fyy = -sin(x)cos(y)

Passo 4

Por fim, calculamos as derivadas mistas. Para fxy derivamos fx em relação a y e para fyx derivamos fy em relação a x. Como f é suave, esperamos que elas coincidam.
fxy = -cos(x)sin(y)
fyx = -cos(x)sin(y)

Resposta

fx = cos(x)cos(y)
fy = -sin(x)sin(y)
fxx = -sin(x)cos(y)
fyy = -sin(x)cos(y)
fxy = -cos(x)sin(y)
fyx = -cos(x)sin(y)

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