Escreva as equações em coordenadas retangulares e em coordenadas polares para as curvas descritas abaixo.
O círculo com centro (0,-4) que passa pela origem.

Passo 1

O enunciado pede as equações do círculo de centro (0,-4) que passa pela origem, primeiro em coordenadas retangulares e depois em coordenadas polares. Vamos usar a definição de círculo em retângulos e a substituição x=rcostheta, y=rsintheta para passar a polares.

Passo 2

Em coordenadas retangulares, a equação de um círculo de centro (x0,y0) e raio R é
(x-x0)^2+(y-y0)^2=R^2
Aqui (x0,y0)=(0,-4) e R é a distância da origem ao centro, ou seja R=4. Logo
(x-0)^2+(y+4)^2=16

Passo 3

Para passar a coordenadas polares, substituímos x=rcostheta e y=rsintheta na equação retangular:
(rcostheta)^2 + (rsintheta + 4)^2 = 16
Esta é a forma implícita em polares.

Passo 4

Expandindo e usando cos^2theta+sin^2theta=1, temos
r^2cos^2theta + r^2sin^2theta + 8rsintheta + 16 = 16 Longrightarrow r^2 + 8rsintheta = 0
Excluindo a solução trivial r=0, isolamos r:
r = -8,sintheta

Resposta

Em coordenadas retangulares:
(x)^2 + (y+4)^2 = 16
Em coordenadas polares, forma implícita:
(rcostheta)^2 + (rsintheta + 4)^2 = 16,
ou forma explícita:
r = -8,sintheta

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