Para cada função abaixo construir o gráfico, dar o domínio e o conjunto imagem:
y=e^-x^2

Passo 1

Estamos lidando com a função y = e{-x{2}}, que é uma função exponencial cujo expoente é uma expressão quadrática em x. O objetivo é traçar o gráfico, determinar o domínio (valores de x permitidos) e o conjunto imagem (valores possíveis de y).

Passo 2

Para achar o domínio, lembramos que a função exponencial e^{u} está definida para todo u ∈ ℝ. Aqui u = -x^{2}, que existe para qualquer x real. Logo, o domínio é todo o conjunto dos números reais.

Passo 3

Agora, vamos entender o comportamento de y em pontos-chave e no infinito: 1) Em x = 0, o expoente é -0^{2} = 0, então y(0) = e^{0} = 1. 2) Para x → ±∞, o termo -x^{2} → -∞, e^{−∞} → 0. Isso mostra que enquanto nos afastamos da origem, y decai em direção a zero.
3) Como x^{2} é par, a função é simétrica em relação ao eixo y. Além disso, em [0,∞) a função é estritamente decrescente.

Passo 4

Com base nesses dados, o gráfico é uma “campânula” (bell shape) centrada em x = 0 com valor máximo y = 1 e que se aproxima de y = 0 quando x → ±∞, sem nunca tocar nesse eixo (assíntota horizontal y = 0).

Passo 5

O conjunto imagem vem dos valores que y assume: no pico em x = 0, y = 1; e, ao longo de x → ±∞, y se aproxima de 0 mas nunca chega. Portanto y varia entre 0 e 1, incluindo 1 e excluindo 0.

Resposta

Domínio: R. Imagem: (0,1].

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