1- Considere a curva plana dada por
y^wed>= 2=32 x^wed>= 5-48 x^wed>= 4+16 x^wed>= 3+4224 x^wed>= 2-6294 x+2095
A equação da reta tangente a esta curva no ponto
P=(1 / 2,2) é da forma y=m x+c para certos coeficientes m, c in R. Quais os valores destes coeficientes?
m=
c=

Passo 1

A questão nos dá a curva implícita
y^2 = 32x^5 - 48x^4 + 16x^3 + 4224x^2 - 6294x + 2095
Queremos a reta tangente no ponto (tfrac12,2), ou seja, precisamos achar o coeficiente angular m = y' usando diferenciação implícita e depois obter o termo constante c.

Passo 2

Para obter y', diferenciamos ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo vem
ddx(y^2) = 2y,y'
e do lado direito
ddxl(32x^5 - 48x^4 + 16x^3 + 4224x^2 - 6294x + 2095r) = 160x^4 - 192x^3 + 48x^2 + 8448x - 6294
Logo,
2y,y' = 160x^4 - 192x^3 + 48x^2 + 8448x - 6294
e
y' = 160x^4 - 192x^3 + 48x^2 + 8448x - 62942y

Passo 3

Para encontrar m = y'(tfrac12), substituímos x=tfrac12 e y=2 no numerador:
160l(tfrac12r)^4 = 10, -192l(tfrac12r)^3 = -24, 48l(tfrac12r)^2 = 12, 8448l(tfrac12r) = 4224, -6294
Somando: 10 - 24 + 12 + 4224 - 6294 = -2072. Como 2y = 4, temos
m = y' = -20724 = -518

Passo 4

Com o coeficiente angular m = -518, a reta tangente é
y = -518x + c
Para achar c, usamos o ponto (tfrac12,2):
2 = -518cdottfrac12 + c = -259 + c
Logo
c = 2 + 259 = 261

Resposta

m = -518, c = 261

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