Esboce o gráfico aproximado da seguinte função:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
. O conteúdo é a hipérbole equilátera, e vamos precisar estudar domínio, imagem, assíntotas, pontos-chave e comportamento nos limites para desenhar a curva.
Passo 2
Primeiro, analisamos o domínio e a imagem. Como o denominador não pode ser zero, o domínio é
. A imagem também exclui zero, pois
nunca se anula, logo é
.
Passo 3
A função tem duas assíntotas principais: a vertical em
(porque quando
ou
,
) e a horizontal em
(porque quando
,
).
Passo 4
Para guiar o desenho, escolhemos pontos notáveis e estudamos o comportamento nos limites: em
,
; em
,
. Quando
,
; quando
,
. Quando
,
; quando
,
.
Passo 5
Com todas essas informações, desenhe dois ramos de hipérbole: um no primeiro quadrante passando por
e tendendo às assíntotas
e
, e outro no terceiro quadrante passando por
com o mesmo comportamento assintótico.
Resposta
O esboço é uma hipérbole com dois ramos: no primeiro quadrante, passando por (1,1) e aproximando-se das retas x=0 (vertical) e y=0 (horizontal); no terceiro quadrante, passando por (−1,−1) e com as mesmas assíntotas.