Para cada função abaixo construir o gráfico, dar o domínio e o conjunto imagem:
y=ln |x|

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico de y=ln|x|, identificar seu domínio e seu conjunto imagem. O conteúdo envolve propriedades da função logarítmica e tratamento de valor absoluto.

Passo 2

Para encontrar o domínio, lembramos que a função logarítmica só está definida quando o argumento é estritamente positivo. Aqui o argumento é |x|, então precisamos de
|x|>0,
o que equivale a
x<0ou x>0 Assim,
Domínio = (-infty,0)cup(0,infty)í

Passo 3

Para entender o gráfico, observamos que ln|x| pode ser escrito como função por partes:
y= ln(-x),&x<0, ln(x),&x>0 Cada ramo é exatamente o gráfico de y=ln x refletido ao redor do eixo y para o caso x<0. Sabemos que o gráfico de y=ln x tende a -infty quando xto0^+ e cresce sem limite quando xto+infty. O mesmo vale para ln(-x) à esquerda.
No eixo x, temos duas curvas idênticas: uma no quadrante I (o ln(x) usual) e uma no quadrante II (a reflexão ln(-x)). Em x=0 há uma assíntota vertical onde yto-infty.

Passo 4

Para obter o conjunto imagem, analisamos o comportamento de y=ln|x|: conforme x se aproxima de 0 em qualquer lado, yto-infty; conforme |x|to+infty, yto+infty. Logo todos os valores reais são atingidos.
Ima>=m = (-infty,+infty)

Resposta

Domínio: (-infty,0)cup(0,infty). Conjunto imagem: ( -infty, +infty).

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