Resolva as equações de Bernoulli abaixo:
y^prime-y-x y^2=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
y' - y - x y^2 = 0
que é do tipo Bernoulli (é uma ODE não-linear que vira linear com uma mudança de variável), então vamos usar a técnica de Bernoulli.

Passo 2

Uma equação de Bernoulli tem a forma
y' + P(x)y = Q(x),y^n
Aqui podemos reescrever sua equação como
y' - y = x y^2
identificando
P(x) = -1, Q(x) = x, n = 2
A substituição clássica é
u = y^1-n = y^-1,
de modo que
dudx = -y^-2dydx
Dividindo a equação original por y^2 e usando a definição de du/dx, obtemos um ODE linear em u:
-dudx = y'y^2 = yy^2 + x = u + x
ou seja
dudx + u = -x

Passo 3

Agora temos um ODE linear de primeira ordem em u(x). O fator integrante é
mu(x) = e^integral 1,dx = e^x
Multiplicando a equação por e^x
e^xdudx + e^x u = -x e^x
que é
ddxl(u e^xr) = -x e^x
Integramos ambos os lados:
u e^x = integral -x e^x,dx = -l(x e^x - e^xr) + C = e^x(1 - x) + C
Assim
u(x) = 1 - x + C e^-x

Passo 4

Voltando à variável original y, lembrando que u = 1/y, temos
1y = 1 - x + C e^-x
e portanto a solução geral é
y(x) = 11 - x + C e^-x

Resposta

A solução geral da equação é y(x)=dfrac11 - x + C e^-x, onde C é constante de integração.

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