Resolva as equações de Bernoulli abaixo:
x^2 y^prime=x^2-x y+y^2

Passo 1

Temos a equação de Bernoulli x^2y'=x^2-xy+y^2. É um EDO de primeira ordem que vamos resolver usando a substituição adequada: primeiro dividimos por x^2 e observamos que ela fica na forma que envolve y/x.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x^2 obtemos
y'=1-yx+y^2x^2
Isso mostra dependência via y/x, sugerindo a troca para variável homogênea.

Passo 3

Fazendo a substituição y=v x, com v=v(x), temos a regra do produto:
y' = v + xdvdx

Passo 4

Substituindo em y'=1-tfracyx+tfracy^2x^2
v + xdvdx = 1 - v + v^2
Reagrupando, fica
xdvdx = 1 - 2v + v^2 = (1-v)^2

Passo 5

Agora a equação é separável. Separamos variáveis:
dv(1-v)^2 = dxx
Para integrar, usamos a substituição auxiliar u=1-v, então du=-dv e
integraldv(1-v)^2 = -integralduu^2 = 1u + C = 11-v + C
Do outro lado, integral dx/x = ln|x| + C.

Passo 6

Igualando as integrais obtemos
11-v = ln|x| + C
Voltando a v=y/x, temos
11 - yx = ln|x| + C
e, simplificando,

Passo 7

Multiplicando numerador e denominador por x na fração da esquerda, chega-se à forma final implícita
xx - y = ln|x| + C

Resposta

\frac{x}{x-y}=\ln|x|+C

Exercícios relacionados