Resolva as equações de Bernoulli abaixo:
Passo 1
Temos a equação de Bernoulli
. É um EDO de primeira ordem que vamos resolver usando a substituição adequada: primeiro dividimos por
e observamos que ela fica na forma que envolve
.
Passo 2
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Isso mostra dependência via
, sugerindo a troca para variável homogênea.
Passo 3
Fazendo a substituição
, com
, temos a regra do produto:
Passo 4
Substituindo em
dá
Reagrupando, fica
Passo 5
Agora a equação é separável. Separamos variáveis:
Para integrar, usamos a substituição auxiliar
, então
e
Do outro lado,
.
Passo 6
Igualando as integrais obtemos
Voltando a
, temos
e, simplificando,
Passo 7
Multiplicando numerador e denominador por
na fração da esquerda, chega-se à forma final implícita
Resposta
\frac{x}{x-y}=\ln|x|+C