Para cada função abaixo, descreva os conjuntos de nível:
f(x, y)=x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=x^{2}+y^{2} e pede a descrição dos conjuntos de nível.
Vou usar a definição padrão: para cada valor real c o conjunto de nível é
L_c=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid f(x,y)=c\}.
As informações relevantes são:
  • A fórmula da função é f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • O domínio natural é \mathbb{R}^2.
  • Em qualquer ponto (x,y) tem-se x^{2}+y^{2}\ge 0.

Passo 2

Explico a ideia prática para resolver: basta resolver a equação
x^{2}+y^{2}=c
para cada tipo de c. Um fato importante (e simples) que usaremos é que para quaisquer x,y\in\mathbb{R} vale x^{2}+y^{2}\ge 0. Logo, se c<0 não há solução; se c\ge 0 as soluções são pontos cuja distância ao origem tem relação com c. Vou tratar os três casos separadamente.

Passo 3

Caso c<0.
Como x^{2}+y^{2}\ge 0 para todo (x,y), a equação x^{2}+y^{2}=c não pode ser satisfeita quando c<0. Portanto, para c<0 o conjunto de nível é vazio:
L_c=\varnothing\qquad\text{se }c<0.

Passo 4

Caso c=0.
A equação fica x^{2}+y^{2}=0. A soma de dois quadrados é zero somente quando cada quadrado é zero, ou seja, x=0 e y=0. Assim
L_0=\{(0,0)\}.

Passo 5

Caso c>0.
Reescrevendo, x^{2}+y^{2}=c é exatamente a equação de uma circunferência centrada na origem com raio \sqrt{c} (pois a distância ao origem é \sqrt{x^{2}+y^{2}}). Portanto os pontos que satisfazem essa equação formam uma circunferência de raio \sqrt{c}. Uma forma explícita de parametrizar esse conjunto é usar ângulo \theta:
x=\sqrt{c}\cos\theta,\qquad y=\sqrt{c}\sin\theta,\qquad \theta\in[0,2\pi).
Logo
L_c=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}=c\}=\{(\sqrt{c}\cos\theta,\sqrt{c}\sin\theta)\mid \theta\in[0,2\pi)\}\quad\text{se }c>0.
Exemplos rápidos para fixar: L_1 é a circunferência unitária; L_4 é a circunferência de raio 2.

Passo 6

Resumo prático (como responder na prova): escreva que para c<0 não há pontos, para c=0 é o ponto (0,0) e para c>0 é a circunferência de raio \sqrt{c} centrada na origem. Se quiser, dê a parametrização por \theta como acima para explicitar todos os pontos.

Resposta

L_c=\varnothing para c<0
L_0=\{(0,0)\}
L_c=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}=c\}=\{(\sqrt{c}\cos\theta,\sqrt{c}\sin\theta)\mid \theta\in[0,2\pi)\} para c>0

Exercícios relacionados