Para cada função abaixo, descreva os conjuntos de nível:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede a descrição dos conjuntos de nível.
Vou usar a definição padrão: para cada valor real o conjunto de nível é
Vou usar a definição padrão: para cada valor real
As informações relevantes são:
- A fórmula da função é
. - O domínio natural é
. - Em qualquer ponto
tem-se .
Passo 2
Explico a ideia prática para resolver: basta resolver a equação
para cada tipo de
. Um fato importante (e simples) que usaremos é que para quaisquer
vale
. Logo, se
não há solução; se
as soluções são pontos cuja distância ao origem tem relação com
. Vou tratar os três casos separadamente.
Passo 3
Caso
.
Como para todo
, a equação
não pode ser satisfeita quando
. Portanto, para
o conjunto de nível é vazio:
Como
Passo 4
Caso
.
A equação fica . A soma de dois quadrados é zero somente quando cada quadrado é zero, ou seja,
e
. Assim
A equação fica
Passo 5
Caso
.
Reescrevendo, é exatamente a equação de uma circunferência centrada na origem com raio
(pois a distância ao origem é
). Portanto os pontos que satisfazem essa equação formam uma circunferência de raio
. Uma forma explícita de parametrizar esse conjunto é usar ângulo
:
Reescrevendo,
Logo
Exemplos rápidos para fixar:
é a circunferência unitária;
é a circunferência de raio
.
Passo 6
Resumo prático (como responder na prova): escreva que para
não há pontos, para
é o ponto
e para
é a circunferência de raio
centrada na origem. Se quiser, dê a parametrização por
como acima para explicitar todos os pontos.