Descreva o gráfico de:
Passo 1
O enunciado pede: "Descreva o gráfico de
".
Informações dadas:
Informações dadas:
- A equação explícita da superfície é
. - As variáveis
e podem assumir quaisquer valores reais (não há restrição explícita).
As coisas que vamos responder (de forma detalhada): domínio e imagem, ponto(s) especiais (vértice), simetrias, curvas de nível, cortes por planos (seções), comportamento geométrico (tipo de superfície) e uma fórmula do plano tangente num ponto genérico.
Passo 2
Domínio e imagem (faixa de valores de
).
- Observação básica: para qualquer real
vale ; idem para . Logo para todo . - Portanto o domínio é
(todos os pares reais ). - A imagem (valores possíveis de
) é , porque o menor valor que pode assumir é (quando e ) e não há valor máximo.
Isso já diz: a superfície nunca teme tem um ponto de menor altitude.
Passo 3
Vértice e ponto crítico.
- O ponto onde
atinge o mínimo é , com . Esse é o vértice da superfície. - Cálculo do gradiente (intuição):
. O gradiente se anula em , indicando ponto crítico. Como vimos, é mínimo global. - Conclusão: o vértice fica em
.
Passo 4
Simetrias e dependência radial.
- Note que a função depende somente da soma
. Se escrevemos , então . - Isso implica simetria circular em torno do eixo
: rotacionando mantendo fixo, o valor de não muda. - Também é par em
e em : trocar por ou por não altera .
Passo 5
Curvas de nível (interseção com planos
).
- Fixe
. A equação das curvas de nível é . - Se
isso é um círculo de raio centrado na origem no plano . - Se
a curva de nível é o ponto . - Se
não há solução (nenhuma curva), porque não pode ser negativo.
Essas curvas de nível circulares explicam por que a superfície parece um “bowl” redondo quando vista de cima.
Passo 6
Seções por planos verticais (cortes que ajudam visualizar a forma).
- Corte por
: substituindo na equação obtemos . Isso é uma parábola no plano . - Corte por
: obtemos , também uma parábola. - Corte por uma reta que passa pela origem, por exemplo
: substituindo dá , outra parábola que é mais “aberta” ou mais “fechada” dependendo de . - Corte por um plano vertical
(fixo): obtemos , ou seja uma parábola em deslocada para cima por .
Esses cortes mostram que em qualquer plano vertical que contenha o eixoa interseção é uma parábola; por isso a superfície é um paraboloide.
Passo 7
Tipo de superfície e curvatura (intuição).
- A matriz Hessiana da função
é , cujos autovalores são positivos. Isso indica que o ponto crítico em é um mínimo e que a superfície é convexa (curva em forma de tigela). - Geometricamente: trata-se de um paraboloide elíptico. Como os coeficientes de
e são iguais, é um paraboloide circular (círculos nas curvas de nível) — às vezes chamado simplesmente de “paraboloide” ou “paraboloide circular”.]
Passo 8
Plano tangente em um ponto (ferramenta útil em provas).
- Seja um ponto genérico
sobre a superfície. A linearização (plano tangente) é dada por
- Forma mais direta do plano tangente:
Isso mostra localmente como a superfície é aproximada por um plano e é útil para analisar inclinações e aproximações rápidas.
Passo 9
Resumo intuitivo e imagem mental (como desenhar na prova).
- Imagine um “bowl” ou uma tigela simétrica em torno do eixo vertical
, com o fundo tocando a origem. Subindo em as seções horizontais são círculos cujo raio cresce como . Em cortes verticais por qualquer plano que contenha o eixo aparece sempre uma parábola. - Dica prática para desenhar: trace as parábolas
e nos planos coordenados e depois complete com círculos horizontais para mostrar a rotação; marca o vértice em e setas mostrando que a superfície abre para cima.
Resposta
Paraboloide circular (elíptico com simetria rotacional) com vértice em
, eixo ao longo do eixo
, que abre para cima; domínio
, imagem
, curvas de nível
(círculos de raio
para
).