Descreva o gráfico de:
z=x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede: "Descreva o gráfico de z=x^{2}+y^{2}".
Informações dadas:
  • A equação explícita da superfície é z=x^{2}+y^{2}.
  • As variáveis x e y podem assumir quaisquer valores reais (não há restrição explícita).
    As coisas que vamos responder (de forma detalhada): domínio e imagem, ponto(s) especiais (vértice), simetrias, curvas de nível, cortes por planos (seções), comportamento geométrico (tipo de superfície) e uma fórmula do plano tangente num ponto genérico.

Passo 2

Domínio e imagem (faixa de valores de z).
  • Observação básica: para qualquer real x vale x^{2}\ge 0; idem para y. Logo x^{2}+y^{2}\ge 0 para todo (x,y).
  • Portanto o domínio é \mathbb{R}^{2} (todos os pares reais (x,y)).
  • A imagem (valores possíveis de z) é [0,\infty), porque o menor valor que x^{2}+y^{2} pode assumir é 0 (quando x=0 e y=0) e não há valor máximo.
    Isso já diz: a superfície nunca tem z<0 e tem um ponto de menor altitude.

Passo 3

Vértice e ponto crítico.
  • O ponto onde z atinge o mínimo é (x,y)=(0,0), com z=0. Esse é o vértice da superfície.
  • Cálculo do gradiente (intuição): \nabla z=(\partial z/\partial x,\partial z/\partial y)=(2x,2y). O gradiente se anula em (0,0), indicando ponto crítico. Como vimos, é mínimo global.
  • Conclusão: o vértice fica em (0,0,0).

Passo 4

Simetrias e dependência radial.
  • Note que a função depende somente da soma x^{2}+y^{2}. Se escrevemos r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, então z=r^{2}.
  • Isso implica simetria circular em torno do eixo z: rotacionando (x,y) mantendo r fixo, o valor de z não muda.
  • Também é par em x e em y: trocar x por -x ou y por -y não altera z.

Passo 5

Curvas de nível (interseção com planos z=\text{const}).
  • Fixe z=c. A equação das curvas de nível é x^{2}+y^{2}=c.
  • Se c>0 isso é um círculo de raio \sqrt{c} centrado na origem no plano z=c.
  • Se c=0 a curva de nível é o ponto (0,0).
  • Se c<0 não há solução (nenhuma curva), porque x^{2}+y^{2} não pode ser negativo.
    Essas curvas de nível circulares explicam por que a superfície parece um “bowl” redondo quando vista de cima.

Passo 6

Seções por planos verticais (cortes que ajudam visualizar a forma).
  • Corte por y=0: substituindo na equação obtemos z=x^{2}. Isso é uma parábola no plano y=0.
  • Corte por x=0: obtemos z=y^{2}, também uma parábola.
  • Corte por uma reta que passa pela origem, por exemplo y=mx: substituindo dá z=(1+m^{2})x^{2}, outra parábola que é mais “aberta” ou mais “fechada” dependendo de m.
  • Corte por um plano vertical x=a (fixo): obtemos z=a^{2}+y^{2}, ou seja uma parábola em y deslocada para cima por a^{2}.
    Esses cortes mostram que em qualquer plano vertical que contenha o eixo z a interseção é uma parábola; por isso a superfície é um paraboloide.

Passo 7

Tipo de superfície e curvatura (intuição).
  • A matriz Hessiana da função f(x,y)=x^{2}+y^{2} é \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}, cujos autovalores são positivos. Isso indica que o ponto crítico em (0,0) é um mínimo e que a superfície é convexa (curva em forma de tigela).
  • Geometricamente: trata-se de um paraboloide elíptico. Como os coeficientes de x^{2} e y^{2} são iguais, é um paraboloide circular (círculos nas curvas de nível) — às vezes chamado simplesmente de “paraboloide” ou “paraboloide circular”.]

Passo 8

Plano tangente em um ponto (ferramenta útil em provas).
  • Seja um ponto genérico P=(a,b,a^{2}+b^{2}) sobre a superfície. A linearização (plano tangente) é dada por
z \approx a^{2}+b^{2} + 2a\,(x-a) + 2b\,(y-b).
  • Forma mais direta do plano tangente:
z = a^{2}+b^{2} + 2a(x-a) + 2b(y-b).
Isso mostra localmente como a superfície é aproximada por um plano e é útil para analisar inclinações e aproximações rápidas.

Passo 9

Resumo intuitivo e imagem mental (como desenhar na prova).
  • Imagine um “bowl” ou uma tigela simétrica em torno do eixo vertical z, com o fundo tocando a origem. Subindo em z as seções horizontais são círculos cujo raio cresce como \sqrt{z}. Em cortes verticais por qualquer plano que contenha o eixo z aparece sempre uma parábola.
  • Dica prática para desenhar: trace as parábolas z=x^{2} e z=y^{2} nos planos coordenados e depois complete com círculos horizontais para mostrar a rotação; marca o vértice em (0,0,0) e setas mostrando que a superfície abre para cima.

Resposta

Paraboloide circular (elíptico com simetria rotacional) com vértice em (0,0,0), eixo ao longo do eixo z, que abre para cima; domínio \mathbb{R}^{2}, imagem [0,\infty), curvas de nível x^{2}+y^{2}=c (círculos de raio \sqrt{c} para c>0).

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