1. Mostre que \mathbb{Q}^{2} é denso em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • O enunciado pede para mostrar que \mathbb{Q}^{2} é denso em \mathbb{R}^{2}.
  • Aqui \mathbb{Q}^{2}=\{(p,q)\mid p\in\mathbb{Q},\;q\in\mathbb{Q}\}.
  • Vou usar a definição precisa de “denso”: mostrar que, para todo ponto (x,y)\in\mathbb{R}^{2} e para toda \varepsilon>0, existe um ponto (p,q)\in\mathbb{Q}^{2} tal que a distância euclidiana entre (p,q) e (x,y) é menor que \varepsilon.
  • Informações úteis que usarei: existe um processo explícito para aproximar qualquer número real por um racional (isto será mostrado abaixo).

Passo 2

Definição e estratégia (explicando as ferramentas que vou usar):
  • Definição de densidade que vou usar: um subconjunto A\subset\mathbb{R}^{2} é denso em \mathbb{R}^{2} se, para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2} e todo \varepsilon>0, existe (u,v)\in A com
\sqrt{(u-x)^{2}+(v-y)^{2}}<\varepsilon.
  • Fórmula da distância euclidiana em \mathbb{R}^{2}: para pontos (u,v) e (x,y),
d\big((u,v),(x,y)\big)=\sqrt{(u-x)^{2}+(v-y)^{2}}.
  • Plano: primeiro vou mostrar (construtivamente) que qualquer número real pode ser aproximado arbitrariamente bem por um racional. Em seguida vou aproximar cada coordenada de (x,y) por racionais e estimar a distância euclidiana para garantir que fique abaixo de \varepsilon.

Passo 3

Provar que qualquer real pode ser aproximado por racionais (construção direta):
  • Seja x\in\mathbb{R} e seja \delta>0. Vou construir um racional p com |p-x|<\delta.
  • Escolho um inteiro positivo n tal que
\frac{1}{n}<\delta.
Isto é sempre possível porque 1/n\to 0 quando n\to\infty.
  • Defino m=\lfloor n x\rfloor, a parte inteira de nx. Pela propriedade da parte inteira temos
m\le nx < m+1.
Dividindo por n obtemos
\frac{m}{n}\le x < \frac{m+1}{n}.
Logo
0\le x-\frac{m}{n}<\frac{1}{n}.
Portanto tomando p=\dfrac{m}{n}\in\mathbb{Q} obtemos
|p-x|=x-\frac{m}{n}<\frac{1}{n}<\delta.
  • Conclusão deste passo: para todo x\in\mathbb{R} e todo \delta>0 existe p\in\mathbb{Q} com |p-x|<\delta. Em palavras: \mathbb{Q} é denso em \mathbb{R}.

Passo 4

Aplicar a aproximação coordenada a coordenada em \mathbb{R}^{2}:
  • Seja agora qualquer ponto (x,y)\in\mathbb{R}^{2} e seja \varepsilon>0. Quero encontrar (p,q)\in\mathbb{Q}^{2} com
\sqrt{(p-x)^{2}+(q-y)^{2}}<\varepsilon.
  • Pela densidade de \mathbb{Q} em \mathbb{R} (Passo 3), escolho p\in\mathbb{Q} e q\in\mathbb{Q} tais que
|p-x|<\frac{\varepsilon}{2} \qquad\text{e}\qquad |q-y|<\frac{\varepsilon}{2}.
Isto é possível porque posso aplicar a construção do Passo 3 separadamente a x e a y com \delta=\varepsilon/2.
  • Agora estimamos a distância euclidiana:
\sqrt{(p-x)^{2}+(q-y)^{2}} \le \sqrt{\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)^{2}} = \sqrt{2\cdot\left(\frac{\varepsilon^{2}}{4}\right)} = \frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}.
  • Observação importante: \dfrac{\varepsilon}{\sqrt{2}}<\varepsilon para todo \varepsilon>0. Portanto a distância obtida é estritamente menor que \varepsilon. Assim escolhemos (p,q)\in\mathbb{Q}^{2} que aproxima (x,y) dentro de \varepsilon.

Passo 5

Conclusão final e interpretação didática:
  • Como (x,y)\in\mathbb{R}^{2} e \varepsilon>0 eram arbitrários, mostramos que para qualquer bola aberta centrada em um ponto arbitrário de \mathbb{R}^{2} existe um ponto de \mathbb{Q}^{2} dentro dessa bola. Isso é exatamente a definição de densidade.
  • Portanto \mathbb{Q}^{2} é denso em \mathbb{R}^{2}.
  • Intuição prática: para aproximar qualquer ponto em \mathbb{R}^{2} basta aproximar separadamente cada coordenada por um racional suficientemente próximo; a combinação dessas duas aproximações dá a aproximação no plano.

Resposta

\mathbb{Q}^{2} é denso em \mathbb{R}^{2}.

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