- Mostre que
é denso em
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- O enunciado pede para mostrar que
é denso em . - Aqui
. - Vou usar a definição precisa de “denso”: mostrar que, para todo ponto
e para toda , existe um ponto tal que a distância euclidiana entre e é menor que . - Informações úteis que usarei: existe um processo explícito para aproximar qualquer número real por um racional (isto será mostrado abaixo).
Passo 2
Definição e estratégia (explicando as ferramentas que vou usar):
- Definição de densidade que vou usar: um subconjunto
é denso em se, para todo e todo , existe com
- Fórmula da distância euclidiana em
: para pontos e ,
- Plano: primeiro vou mostrar (construtivamente) que qualquer número real pode ser aproximado arbitrariamente bem por um racional. Em seguida vou aproximar cada coordenada de
por racionais e estimar a distância euclidiana para garantir que fique abaixo de .
Passo 3
Provar que qualquer real pode ser aproximado por racionais (construção direta):
- Seja
e seja . Vou construir um racional com . - Escolho um inteiro positivo
tal que
Isto é sempre possível porque
quando
.
- Defino
, a parte inteira de . Pela propriedade da parte inteira temos
Dividindo por
obtemos
Logo
Portanto tomando
obtemos
- Conclusão deste passo: para todo
e todo existe com . Em palavras: é denso em .
Passo 4
Aplicar a aproximação coordenada a coordenada em
:
- Seja agora qualquer ponto
e seja . Quero encontrar com
- Pela densidade de
em (Passo 3), escolho e tais que
Isto é possível porque posso aplicar a construção do Passo 3 separadamente a
e a
com
.
- Agora estimamos a distância euclidiana:
- Observação importante:
para todo . Portanto a distância obtida é estritamente menor que . Assim escolhemos que aproxima dentro de .
Passo 5
Conclusão final e interpretação didática:
- Como
e eram arbitrários, mostramos que para qualquer bola aberta centrada em um ponto arbitrário de existe um ponto de dentro dessa bola. Isso é exatamente a definição de densidade. - Portanto
é denso em . - Intuição prática: para aproximar qualquer ponto em
basta aproximar separadamente cada coordenada por um racional suficientemente próximo; a combinação dessas duas aproximações dá a aproximação no plano.