Para cada função abaixo, descreva a transformação feita em relação a função f(x)=\operatorname{sen}(x) e indique o domínio e imagem da função:
f(x)=\operatorname{sen}(x+3)

Passo 1

O enunciado apresenta a função f(x)=\operatorname{sen}(x+3) e pede para descrever qual transformação ela sofre em relação à função-base f(x)=\operatorname{sen}(x) e determinar domínio e imagem. O conteúdo aqui é deslocamento horizontal de gráficos de funções.

Passo 2

Para entender o deslocamento, note que em geral, se definimos g(x)=f(x+c), isso corresponde a empurrar o gráfico de f em c unidades para a esquerda. No nosso caso, c=3, então o gráfico de \operatorname{sen}(x) é transladado 3 unidades para a esquerda, passando cada ponto que estava em x_0 para x_0-3.

Passo 3

O domínio de \operatorname{sen}(x) é todo o conjunto dos números reais, pois a função seno está definida para qualquer real. Como o deslocamento horizontal não cria restrição de x, mantemos
\mathrm{Dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x+3\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R}.
A imagem de \operatorname{sen}(x) é [-1,1] e, como deslocamento horizontal não altera os valores de saída, temos
\mathrm{Im}(f)=[-1,1].

Resposta

A função f(x)=\operatorname{sen}(x+3) é o gráfico de \operatorname{sen}(x) deslocado 3 unidades para a esquerda.
O domínio é \mathbb{R} e a imagem é [-1,1].

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