Para cada função abaixo, descreva a transformação feita em relação a função f(x)=\cos (x) e indique o domínio e imagem da função:
f(x)=\frac{1}{2} \cos (2 x+2)-1

Passo 1

O enunciado nos dá a função de referência f(x)=\cos(x) e define a nova função
g(x)=\tfrac12\cos(2x+2)-1.
Vamos usar o conteúdo de transformações de gráficas: escalamentos e translações horizontais e verticais, além de determinar domínio e imagem de g.

Passo 2

Para identificar as transformações horizontais escrevemos
g(x)=\tfrac12\cos\bigl(2(x+1)\bigr)-1.
Aqui dentro de \cos:
  • o fator 2 corresponde a um encolhimento horizontal por 1/2 (o período passa de 2\pi para \pi);
  • o termo x+1 indica translação de 1 unidade para a esquerda.
    Por fim, fora de \cos:
  • o fator \tfrac12 é um encolhimento vertical por 1/2;
  • o “ -1” é uma translação de 1 unidade para baixo.

Passo 3

A função cosseno é definida em todo \mathbb{R} e as transformações não restringem o domínio, logo
\text{Domínio de }g = \mathbb{R}.í
Como \cos(x)\in[-1,1], após o encolhimento vertical em 1/2 obtemos \bigl[-\tfrac12,\tfrac12\bigr] e depois a translação para baixo em 1 desloca esse intervalo para
\bigl[-\tfrac12-1,\;\tfrac12-1\bigr]=\bigl[-\tfrac32,\;-\tfrac12\bigr].
Portanto
\text{Imagem de }g = \bigl[-\tfrac32,\;-\tfrac12\bigr].

Resposta

Transformações em relação a f(x)=\cos(x):
  • encolhimento horizontal por fator 1/2 (período de 2\pi para \pi);
  • translação horizontal de 1 unidade para a esquerda;
  • encolhimento vertical por fator 1/2;
  • translação vertical de 1 unidade para baixo.
Domínio: \mathbb{R}.
Imagem: \bigl[-\tfrac32,\;-\tfrac12\bigr].

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