Para que a equação 2 \cos (x)=y^{2}-2 x-1 tenha solução, o valor de y deve pertencer a:

Passo 1

O enunciado pede determinar os valores de y para os quais existe x\in\mathbb{R} satisfazendo:
2\cos(x)=y^{2}-2x-1.
O conteúdo é estudar a existência de solução real usando o alcance (imagem) de uma função de x.

Passo 2

Reescrevemos a equação como
y^{2}=2\cos(x)+2x+1,
e definimos a função
f(x)=2\cos(x)+2x+1,
de modo que procurar x com 2\cos(x)=y^{2}-2x-1 equivale a achar x tal que f(x)=y^{2}.

Passo 3

Analisamos a monotonicidade de f. Calculamos a derivada:
f'(x) = -2\sin(x) + 2 = 2\bigl(1-\sin(x)\bigr).
Como \sin(x)\le1 para todo x, segue que f'(x)\ge0 sempre, com f'(x)=0 apenas em pontos isolados. Logo, f é estritamente crescente em \mathbb{R}.

Passo 4

Determinamos os limites de f em \pm\infty:
\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}(2x+2\cos(x)+1)=-\infty,
\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}(2x+2\cos(x)+1)=+\infty.
Como f é contínua, estritamente crescente e vai de -\infty a +\infty, sua imagem é todo \mathbb{R}.

Passo 5

Para que exista x tal que f(x)=y^{2}, basta que y^{2} pertença à imagem de f, mas como \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}, todo número real não-negativo y^{2} está em \mathrm{Im}(f). Portanto, para qualquer y\in\mathbb{R} encontramos x satisfazendo a equação.

Resposta

y\in\mathbb{R}

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