Para que a equação
tenha solução, o valor de
deve pertencer a:
Passo 1
O enunciado pede determinar os valores de
para os quais existe
satisfazendo:
O conteúdo é estudar a existência de solução real usando o alcance (imagem) de uma função de
.
Passo 2
Reescrevemos a equação como
e definimos a função
de modo que procurar
com
equivale a achar
tal que
.
Passo 3
Analisamos a monotonicidade de
. Calculamos a derivada:
Como
para todo
, segue que
sempre, com
apenas em pontos isolados. Logo,
é estritamente crescente em
.
Passo 4
Determinamos os limites de
em
:
Como
é contínua, estritamente crescente e vai de
a
, sua imagem é todo
.
Passo 5
Para que exista
tal que
, basta que
pertença à imagem de
, mas como
, todo número real não-negativo
está em
. Portanto, para qualquer
encontramos
satisfazendo a equação.