Para cada função abaixo, determine o contradomínio
que a torne inversível e expresse sua inversa:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (1) determinar o contradomínio
que torne
inversível e (2) encontrar a função inversa
. Informações relevantes fornecidas: o domínio é
e a expressão analítica de
é
. Não foi dado
; devemos escolher
igual à imagem (conjunto de valores atingidos) de
sobre esse domínio, de modo que
seja bijetora entre o domínio e
.
Passo 2
Verificar injetividade (monotonicidade) na porção do domínio dada — isso nos diz se existe inversa. Para isso calculamos a derivada de
:
Explico: a derivada de
é
, multiplicando por
dá
; a derivada de
é
; a constante desaparece. A derivada nos diz se a função cresce (derivada positiva) ou decresce (derivada negativa).
Passo 3
Estudamos o sinal de
no domínio
. Avaliando no extremo direito do domínio:
Como
é linear e decresce quando
decresce, para todo
teremos
. Conclusão:
para todo
, ou seja,
é estritamente decrescente nesse domínio. Portanto
é injetora na restrição dada, o que é necessário para existir inversa.
Passo 4
Agora determinamos a imagem de
sobre o domínio — esse será o contradomínio
que torna
inversível (queremos
). Primeiro calculemos o valor no extremo direito do domínio:
Calcule passo a passo:
, então
. Assim
Como a função é estritamente decrescente no domínio, ao aumentar
(isto é, ao ir de
para
) o valor de
diminui. Então os maiores valores de
ocorrem quando
. Observamos o comportamento para
:
pois o termo
domina e é positivo. Portanto os valores de
variam de
(quando
) decrescendo até
em
. Assim a imagem é todos os números reais maiores ou iguais a
. Logo
Passo 5
Para ter a inversa explicitamente, resolvemos a equação
para
em termos de
. Começamos com
Reescrevemos como equação quadrática em
:
Explico: passei
para o lado esquerdo como
, e agrupei constantes em
. Agora aplicamos a fórmula quadrática (fórmula resolvente). Para a equação
as soluções são
Aqui
,
,
. O discriminante é
Note que para
temos
, logo existem sempre duas raízes reais distintas.
Passo 6
Aplicando a fórmula das raízes:
Temos duas soluções, mas apenas uma pertence ao domínio
. Precisamos escolher o sinal correto. Vamos analisar os sinais aproximadamente: para
temos
. Então
ou seja, a solução com sinal
é maior ou igual a
, portanto não pertence ao domínio (que contém apenas números
). A outra solução,
é
, ou seja, pertence ao domínio. Assim a inversa deve usar o sinal
no radical.
Passo 7
Concluímos que a inversa
, definida no contradomínio
, é dada por
Podemos reescrever usando
como variável da inversa, se preferir:
Verificação rápida: para
obtemos
, que corresponde ao ponto do domínio onde
vale
, portanto faz sentido.