Para cada função abaixo, determine o contradomínio C que a torne inversível e expresse sua inversa:
f:\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right] \rightarrow C, f(x)=2 x^{2}+x-3

Passo 1

O enunciado dá a função
f:\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right] \rightarrow C,\qquad f(x)=2x^{2}+x-3,
e pede duas coisas: (1) determinar o contradomínio C que torne f inversível e (2) encontrar a função inversa f^{-1}. Informações relevantes fornecidas: o domínio é \left(-\infty,-\frac{3}{2}\right] e a expressão analítica de f é 2x^{2}+x-3. Não foi dado C; devemos escolher C igual à imagem (conjunto de valores atingidos) de f sobre esse domínio, de modo que f seja bijetora entre o domínio e C.

Passo 2

Verificar injetividade (monotonicidade) na porção do domínio dada — isso nos diz se existe inversa. Para isso calculamos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{2}+x-3\bigr)=4x+1.
Explico: a derivada de x^{2} é 2x, multiplicando por 2 4x; a derivada de x é 1; a constante desaparece. A derivada nos diz se a função cresce (derivada positiva) ou decresce (derivada negativa).

Passo 3

Estudamos o sinal de f'(x)=4x+1 no domínio \left(-\infty,-\frac{3}{2}\right]. Avaliando no extremo direito do domínio:
f'\!\left(-\tfrac{3}{2}\right)=4\left(-\tfrac{3}{2}\right)+1=-6+1=-5<0.
Como 4x+1 é linear e decresce quando x decresce, para todo x\leq -\tfrac{3}{2} teremos 4x+1\leq -5<0. Conclusão: f'(x)<0 para todo x\in\left(-\infty,-\tfrac{3}{2}\right], ou seja, f é estritamente decrescente nesse domínio. Portanto f é injetora na restrição dada, o que é necessário para existir inversa.

Passo 4

Agora determinamos a imagem de f sobre o domínio — esse será o contradomínio C que torna f inversível (queremos C=f\bigl(\left(-\infty,-\tfrac{3}{2}\right]\bigr)). Primeiro calculemos o valor no extremo direito do domínio:
f\!\left(-\tfrac{3}{2}\right)=2\left(-\tfrac{3}{2}\right)^{2}+\left(-\tfrac{3}{2}\right)-3.
Calcule passo a passo: \left(-\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\tfrac{9}{4}, então 2\cdot\tfrac{9}{4}=\tfrac{9}{2}. Assim
f\!\left(-\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{9}{2}-\tfrac{3}{2}-3=\tfrac{9-3-6}{2}=\tfrac{0}{2}=0.
Como a função é estritamente decrescente no domínio, ao aumentar x (isto é, ao ir de -\infty para -\tfrac{3}{2}) o valor de f(x) diminui. Então os maiores valores de f ocorrem quando x\to -\infty. Observamos o comportamento para x\to -\infty:
\lim_{x\to -\infty}2x^{2}+x-3=+\infty,
pois o termo 2x^{2} domina e é positivo. Portanto os valores de f(x) variam de +\infty (quando x\to -\infty) decrescendo até 0 em x=-\tfrac{3}{2}. Assim a imagem é todos os números reais maiores ou iguais a 0. Logo
C=\bigl[0,\infty\bigr).

Passo 5

Para ter a inversa explicitamente, resolvemos a equação y=f(x) para x em termos de y. Começamos com
y=2x^{2}+x-3.
Reescrevemos como equação quadrática em x:
2x^{2}+x-(3+y)=0.
Explico: passei y para o lado esquerdo como -y, e agrupei constantes em -(3+y). Agora aplicamos a fórmula quadrática (fórmula resolvente). Para a equação ax^{2}+bx+c=0 as soluções são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=2, b=1, c=-(3+y). O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=1-4\cdot 2\cdot\bigl(-(3+y)\bigr)=1+8(3+y)=1+24+8y=25+8y.
Note que para y\geq 0 temos \Delta=25+8y\geq 25>0, logo existem sempre duas raízes reais distintas.

Passo 6

Aplicando a fórmula das raízes:
x=\frac{-1\pm\sqrt{25+8y}}{4}.
Temos duas soluções, mas apenas uma pertence ao domínio \left(-\infty,-\tfrac{3}{2}\right]. Precisamos escolher o sinal correto. Vamos analisar os sinais aproximadamente: para y\geq 0 temos \sqrt{25+8y}\geq 5. Então
\frac{-1+\sqrt{25+8y}}{4}\geq\frac{-1+5}{4}=\frac{4}{4}=1,
ou seja, a solução com sinal + é maior ou igual a 1, portanto não pertence ao domínio (que contém apenas números \leq -\tfrac{3}{2}). A outra solução,
\frac{-1-\sqrt{25+8y}}{4},
é \leq \frac{-1-5}{4}=\frac{-6}{4}=-\tfrac{3}{2}, ou seja, pertence ao domínio. Assim a inversa deve usar o sinal - no radical.

Passo 7

Concluímos que a inversa f^{-1}, definida no contradomínio C=[0,\infty), é dada por
f^{-1}(y)=\frac{-1-\sqrt{25+8y}}{4},\qquad y\in\bigl[0,\infty\bigr).
Podemos reescrever usando x como variável da inversa, se preferir:
f^{-1}(x)=\frac{-1-\sqrt{25+8x}}{4},\qquad x\in\bigl[0,\infty\bigr).
Verificação rápida: para y=0 obtemos f^{-1}(0)=\frac{-1-\sqrt{25}}{4}=\frac{-1-5}{4}=-\tfrac{3}{2}, que corresponde ao ponto do domínio onde f vale 0, portanto faz sentido.

Resposta

C=\bigl[0,\infty\bigr)\n f^{-1}(y)=\dfrac{-1-\sqrt{25+8y}}{4},\quad y\in\bigl[0,\infty\bigr)

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