Para cada função abaixo, determine o domínio máximo e o contradomínio para que ela seja bijetora. Neste caso, encontre uma expressão analítica para
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (1) determinar o domínio máximo e o contradomínio (codomínio) para que
seja bijetora; (2) encontrar uma expressão analítica para
. As informações relevantes fornecidas são apenas a fórmula acima.
Passo 2
Determinar o domínio máximo. A função exponencial
está definida para todo
. Como o argumento aqui é
, que também é um número real para qualquer
, concluímos que a função original está definida para todos os reais. Portanto o domínio máximo é
Passo 3
Verificar injetividade (intuição didática). Uma maneira simples e robusta de garantir injetividade é mostrar que
é estritamente monotônica (aqui, estritamente crescente). Vamos analisar passo a passo:
é estritamente crescente porque a função
é estritamente crescente (se
então
). Multiplicar por
preserva ordem, logo
é estritamente crescente. A exponencial
é também estritamente crescente como função de
. A composição de funções estritamente crescentes é estritamente crescente. Logo
é estritamente crescente em
e, portanto, injetiva.
Observação rápida (opcional): a derivada dá a mesma conclusão porque
com igualdade somente em
; isso não impede monotonicidade estrita global porque
já é estritamente crescente.
Passo 4
Determinar a imagem (para obter o contradomínio que torna
sobrejetora). Sabemos:
é sobrejetora em
(o cúbico atinge todos os reais), então
percorre todo
(multiplicação por
é bijetora em
). A exponencial
enviada de
tem imagem
. Portanto a imagem de
é
Para que
seja bijetora, devemos escolher o contradomínio igual à imagem, ou seja
.
Passo 5
Encontrar
resolvendo a equação
em função de
. Começamos por colocar
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados (que é permitido porque
):
Isolamos
:
Tomando a raiz cúbica (função
definida para todo real, única raiz real),
Passo 6
Interpretando como função inversa: para
temos
Aqui é importante notar que a restrição
vem da imagem de
e é necessária porque
só está definido para
.
Passo 7
Verificação rápida (checar que composições retornam a identidade). Se aplicarmos
a
obtemos
o que confirma que a fórmula é correta como inversa à direita; analogamente
para todo
.
Resposta
Domínio:
Contradomínio (para bijetividade):
Contradomínio (para bijetividade):