Para cada função abaixo, determine o domínio máximo e o contradomínio para que ela seja bijetora. Neste caso, encontre uma expressão analítica para f^{-1}.
f(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{e}\left(x^{3}+1\right)}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{e}\left(x^{3}+1\right)}
e pede duas coisas: (1) determinar o domínio máximo e o contradomínio (codomínio) para que f seja bijetora; (2) encontrar uma expressão analítica para f^{-1}. As informações relevantes fornecidas são apenas a fórmula acima.

Passo 2

Determinar o domínio máximo. A função exponencial \mathrm{e}^{t} está definida para todo t\in\mathbb{R}. Como o argumento aqui é \mathrm{e}\left(x^{3}+1\right), que também é um número real para qualquer x\in\mathbb{R}, concluímos que a função original está definida para todos os reais. Portanto o domínio máximo é
\text{dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Verificar injetividade (intuição didática). Uma maneira simples e robusta de garantir injetividade é mostrar que f é estritamente monotônica (aqui, estritamente crescente). Vamos analisar passo a passo:
x\mapsto x^{3}+1
é estritamente crescente porque a função x\mapsto x^{3} é estritamente crescente (se a<b então a^{3}<b^{3}). Multiplicar por \mathrm{e}>0 preserva ordem, logo
x\mapsto \mathrm{e}\left(x^{3}+1\right)
é estritamente crescente. A exponencial \mathrm{e}^{t} é também estritamente crescente como função de t. A composição de funções estritamente crescentes é estritamente crescente. Logo f é estritamente crescente em \mathbb{R} e, portanto, injetiva.
Observação rápida (opcional): a derivada dá a mesma conclusão porque
f'(x)=3\mathrm{e}\,x^{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{e}\left(x^{3}+1\right)}\ge 0
com igualdade somente em x=0; isso não impede monotonicidade estrita global porque x^{3} já é estritamente crescente.

Passo 4

Determinar a imagem (para obter o contradomínio que torna f sobrejetora). Sabemos:
x\mapsto x^{3}+1
é sobrejetora em \mathbb{R} (o cúbico atinge todos os reais), então \mathrm{e}\left(x^{3}+1\right) percorre todo \mathbb{R} (multiplicação por \mathrm{e} é bijetora em \mathbb{R}). A exponencial \mathrm{e}^{t} enviada de t\in\mathbb{R} tem imagem (0,\infty). Portanto a imagem de f é
f(\mathbb{R})=(0,\infty).
Para que f seja bijetora, devemos escolher o contradomínio igual à imagem, ou seja (0,\infty).

Passo 5

Encontrar f^{-1} resolvendo a equação y=f(x) em função de y. Começamos por colocar
y=\mathrm{e}^{\mathrm{e}\left(x^{3}+1\right)},\qquad y>0.
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados (que é permitido porque y>0):
\ln y=\mathrm{e}\left(x^{3}+1\right).
Isolamos x^{3}:
x^{3}=\frac{1}{\mathrm{e}}\ln y - 1.
Tomando a raiz cúbica (função \sqrt[3]{\cdot} definida para todo real, única raiz real),
x=\sqrt[3]{\frac{1}{\mathrm{e}}\ln y - 1}.

Passo 6

Interpretando como função inversa: para y\in(0,\infty) temos
f^{-1}(y)=\sqrt[3]{\frac{1}{\mathrm{e}}\ln y - 1}.
Aqui é importante notar que a restrição y>0 vem da imagem de f e é necessária porque \ln y só está definido para y>0.

Passo 7

Verificação rápida (checar que composições retornam a identidade). Se aplicarmos f a f^{-1}(y) obtemos
f\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=\mathrm{e}^{\mathrm{e}\left(\left(\sqrt[3]{\frac{1}{\mathrm{e}}\ln y - 1}\right)^{3}+1\right)}=\mathrm{e}^{\mathrm{e}\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\ln y -1 +1\right)}=\mathrm{e}^{\ln y}=y,
o que confirma que a fórmula é correta como inversa à direita; analogamente f^{-1}(f(x))=x para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Contradomínio (para bijetividade): (0,\infty)
f^{-1}(y)=\sqrt[3]{\frac{1}{\mathrm{e}}\ln y - 1},\qquad y\in(0,\infty).

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