Numa tubulação de 300 mm de diâmetro, água escoa em uma extensão de 300 m , ligando um ponto A na cota topográfica de 95,0 \mathrm{~m}, no qual a pressão interna é de 275 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}, a um ponto B na cota topográfica de 75,0 \mathrm{~m}, no qual a pressão interna é de 345 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}. Considere \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
a) Esquematize o problema, inclusive a linha piezométrica, e indique o sentido do escoamento da água.
b) Calcule a perda de carga entre A e B e a perda de carga unitária.
c) Se a vazão for igual a 0,12 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, calcule o fator de atrito da tubulação.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Esquematizar o problema (mostrar A e B, a linha piezométrica) e indicar o sentido do escoamento da água.
  • (b) Calcular a perda de carga entre A e B e a perda de carga unitária.
  • (c) Para a vazão dada, calcular o fator de atrito da tubulação.
Dados fornecidos (vou colocá‑los já em unidades SI):
\begin{aligned} &D=300\\ \mathrm{mm}=0{,}300\\ \mathrm{m},\\\ &L=300\\ \mathrm{m},\\\ &z_A=95{,}0\\ \mathrm{m},\\\ &z_B=75{,}0\\ \mathrm{m},\\\ &p_A=275\\ \mathrm{kN/m^2}=275000\\ \mathrm{Pa},\\\ &p_B=345\\ \mathrm{kN/m^2}=345000\\ \mathrm{Pa},\\\ &g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}. \end{aligned}
Assumo a densidade da água em temperatura ambiente:
\rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 2

Esquematização e conceito de linha piezométrica (aula rápida mas prática).
  • Imagine uma linha horizontal que representa a tubulação entre A (à esquerda) e B (à direita), comprimento L=300\\ \mathrm{m}.
  • Em cada ponto definimos a “carga piezométrica” (ou piezométrica) H por:
H=\frac{p}{\rho g}+z,
onde:
  • p é a pressão absoluta interna no ponto (em Pa),
  • \rho é a densidade do fluido (em \mathrm{kg/m^3}),
  • g é a aceleração gravitacional (em \mathrm{m/s^2}),
  • z é a cota topográfica (em \mathrm{m}).
  • A linha piezométrica é a curva que liga os valores de H ao longo da tubulação. Em um tubo de mesma seção e com escoamento permanente, se desprezarmos perdas localizadas, a linha piezométrica desce de acordo com as perdas por atrito.
O sentido do escoamento é sempre do ponto com maior carga piezométrica para o de menor carga piezométrica. No próximo passo vamos calcular numericamente esses H em A e B para decidir o sentido.

Passo 3

Cálculo das cargas piezométricas em A e B.
  • Calculo de \dfrac{p_A}{\rho g}:
\frac{p_A}{\rho g}=\frac{275000}{1000\cdot 9{,}8}=\frac{275000}{9800}=28{,}06122449\\ \mathrm{m}.
  • Portanto
H_A=\frac{p_A}{\rho g}+z_A=28{,}06122449+95{,}0=123{,}06122449\\ \mathrm{m}.
  • Calculo de \dfrac{p_B}{\rho g}:
\frac{p_B}{\rho g}=\frac{345000}{1000\cdot 9{,}8}=\frac{345000}{9800}=35{,}20408163\\ \mathrm{m}.
  • Portanto
H_B=\frac{p_B}{\rho g}+z_B=35{,}20408163+75{,}0=110{,}20408163\\ \mathrm{m}.
Comparando, \;H_A=123{,}061\\ \mathrm{m}>\;H_B=110{,}204\\ \mathrm{m}. Logo a água escoa de A para B (da maior piezométrica para a menor).

Passo 4

Cálculo da perda de carga total h_f entre A e B.
  • Para escoamento permanente em mesma tubulação (mesma seção), a variação da carga piezométrica entre dois pontos dá a perda de carga por atrito (Bernoulli com termo de perda). Assim:
h_f=H_A-H_B.
  • Substituindo os valores calculados:
h_f=123{,}06122449-110{,}20408163=12{,}85714286\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando razoavelmente (duas casas decimais onde conveniente):
h_f\approx 12{,}857\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Cálculo da perda de carga unitária (por metro).
\text{Perda unitária}=\frac{h_f}{L}=\frac{12{,}85714286}{300}=0{,}0428571429\\ \mathrm{m/m}.á
Ou seja, aproximadamente 0{,}04286\\ \mathrm{m} de carga perdida por metro de tubulação.

Passo 6

Agora vamos calcular o fator de atrito f usando a fórmula de Darcy–Weisbach. Primeiro precisamos da velocidade média v no tubo a partir da vazão Q=0{,}12\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Área interna da seção circular:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi (0{,}300)^2}{4}=\frac{\pi\cdot 0{,}09}{4}=0{,}0706858347\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade média:
v=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}12}{0{,}0706858347}=1{,}697652726\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Fórmula de Darcy–Weisbach e cálculo do fator f.
  • A perda de carga por atrito segundo Darcy–Weisbach é:
h_f=f\frac{L}{D}\cdot\frac{v^2}{2g},
onde:
  • h_f é a perda de carga (m),
  • f é o fator de atrito adimensional,
  • L é o comprimento (m),
  • D é o diâmetro (m),
  • v é a velocidade média (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade (m/s^2).
  • Isolando f:
f=\frac{h_f}{\dfrac{L}{D}\cdot\dfrac{v^2}{2g}}.

Passo 8

Substituição numérica passo a passo:
  • Primeiro calcule v^2 e \dfrac{v^2}{2g}:
v^2=(1{,}697652726)^2=2{,}88211425\\ \mathrm{m^2/s^2},
\frac{v^2}{2g}=\frac{2{,}88211425}{2\cdot 9{,}8}=\frac{2{,}88211425}{19{,}6}=0{,}147060928\\ \mathrm{m}.
  • Calculando \dfrac{L}{D}=\dfrac{300}{0{,}3}=1000.
  • Portanto o denominador é 1000\times 0{,}147060928=147{,}060928.
  • Finalmente:
f=\frac{12{,}85714286}{147{,}060928}=0{,}087457\\ (\text{adimensional}).
Arredondando:
f\approx 0{,}0875.

Passo 9

Comentário interpretativo e verificação rápida:
  • O fator f\approx 0{,}0875 é relativamente grande (indica perda considerável). Isso é apenas o resultado dos dados p e z fornecidos. Para tubos muito rugosos ou condições especiais isso pode ocorrer; em escoamento plenamente turbulento em tubos lisos costuma‑se ter f menor (por exemplo 0{,}01\div 0{,}03), mas aqui os dados experimentais (pressões e cotas) impõem esse valor de f.
  • Se quisermos verificar regime de escoamento, podemos estimar o número de Reynolds com \nu\approx 1{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}:
Re=\frac{vD}{\nu}=\frac{1{,}69765\cdot 0{,}3}{1{,}0\times 10^{-6}}\approx 5{,}09\times 10^{5},
o que indica escoamento turbulento. Para obter f com método teórico precisaríamos da rugosidade relativa e usar a equação de Colebrook–White; aqui extraímos f diretamente a partir das perdas impostas pelos dados.

Resposta

a) Linha piezométrica: H_A=\dfrac{p_A}{\rho g}+z_A=123{,}061\\ \mathrm{m},\qquad H_B=\dfrac{p_B}{\rho g}+z_B=110{,}204\\ \mathrm{m}. Esquema: tubulação entre A (cota 95{,}0\\ \mathrm{m}, p_A=275\\ \mathrm{kN/m^2}) e B (cota 75{,}0\\ \mathrm{m}, p_B=345\\ \mathrm{kN/m^2}); linha piezométrica com H_A>H_B. Sentido do escoamento: de A para B.
b) Perda de carga entre A e B: h_f=12{,}857\\ \mathrm{m}. Perda de carga unitária: h_f/L=0{,}042857\\ \mathrm{m/m}.
c) Para Q=0{,}12\\ \mathrm{m^3/s}: fator de atrito f\approx 0{,}0875.

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