Numa tubulação de 300 mm de diâmetro, água escoa em uma extensão de 300 m , ligando um ponto A na cota topográfica de
, no qual a pressão interna é de
, a um ponto B na cota topográfica de
, no qual a pressão interna é de
. Considere
.
a) Esquematize o problema, inclusive a linha piezométrica, e indique o sentido do escoamento da água.
b) Calcule a perda de carga entre A e B e a perda de carga unitária.
c) Se a vazão for igual a
, calcule o fator de atrito da tubulação.
a) Esquematize o problema, inclusive a linha piezométrica, e indique o sentido do escoamento da água.
b) Calcule a perda de carga entre A e B e a perda de carga unitária.
c) Se a vazão for igual a
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Esquematizar o problema (mostrar A e B, a linha piezométrica) e indicar o sentido do escoamento da água.
- (b) Calcular a perda de carga entre A e B e a perda de carga unitária.
- (c) Para a vazão dada, calcular o fator de atrito da tubulação.
Dados fornecidos (vou colocá‑los já em unidades SI):
Assumo a densidade da água em temperatura ambiente:
Passo 2
Esquematização e conceito de linha piezométrica (aula rápida mas prática).
- Imagine uma linha horizontal que representa a tubulação entre A (à esquerda) e B (à direita), comprimento
. - Em cada ponto definimos a “carga piezométrica” (ou piezométrica)
por:
onde:
-
é a pressão absoluta interna no ponto (em Pa), -
é a densidade do fluido (em ), -
é a aceleração gravitacional (em ), -
é a cota topográfica (em ). - A linha piezométrica é a curva que liga os valores de
ao longo da tubulação. Em um tubo de mesma seção e com escoamento permanente, se desprezarmos perdas localizadas, a linha piezométrica desce de acordo com as perdas por atrito.
O sentido do escoamento é sempre do ponto com maior carga piezométrica para o de menor carga piezométrica. No próximo passo vamos calcular numericamente esses
em
e
para decidir o sentido.
Passo 3
Cálculo das cargas piezométricas em
e
.
- Calculo de
:
- Portanto
- Calculo de
:
- Portanto
Comparando,
. Logo a água escoa de
para
(da maior piezométrica para a menor).
Passo 4
Cálculo da perda de carga total
entre
e
.
- Para escoamento permanente em mesma tubulação (mesma seção), a variação da carga piezométrica entre dois pontos dá a perda de carga por atrito (Bernoulli com termo de perda). Assim:
- Substituindo os valores calculados:
- Arredondando razoavelmente (duas casas decimais onde conveniente):
Passo 5
Cálculo da perda de carga unitária (por metro).
Ou seja, aproximadamente
de carga perdida por metro de tubulação.
Passo 6
Agora vamos calcular o fator de atrito
usando a fórmula de Darcy–Weisbach. Primeiro precisamos da velocidade média
no tubo a partir da vazão
.
- Área interna da seção circular:
- Velocidade média:
Passo 7
Fórmula de Darcy–Weisbach e cálculo do fator
.
- A perda de carga por atrito segundo Darcy–Weisbach é:
onde:
-
é a perda de carga (m), -
é o fator de atrito adimensional, -
é o comprimento (m), -
é o diâmetro (m), -
é a velocidade média (m/s), -
é a aceleração da gravidade (m/s^2). -
Isolando
:
Passo 8
Substituição numérica passo a passo:
- Primeiro calcule
e :
- Calculando
- Portanto o denominador é
- Finalmente:
Arredondando:
Passo 9
Comentário interpretativo e verificação rápida:
- O fator
é relativamente grande (indica perda considerável). Isso é apenas o resultado dos dados e fornecidos. Para tubos muito rugosos ou condições especiais isso pode ocorrer; em escoamento plenamente turbulento em tubos lisos costuma‑se ter menor (por exemplo ), mas aqui os dados experimentais (pressões e cotas) impõem esse valor de . - Se quisermos verificar regime de escoamento, podemos estimar o número de Reynolds com
:
o que indica escoamento turbulento. Para obter
com método teórico precisaríamos da rugosidade relativa e usar a equação de Colebrook–White; aqui extraímos
diretamente a partir das perdas impostas pelos dados.
Resposta
a) Linha piezométrica:
Esquema: tubulação entre
(cota
,
) e
(cota
,
); linha piezométrica com
. Sentido do escoamento: de
para
.
b) Perda de carga entre
e
:
Perda de carga unitária:
c) Para
: fator de atrito
.