Calcule a perda de carga contínua ao longo de um tubo de aço galvanizado (\varepsilon=0,15 \mathrm{~mm}) \operatorname{com} 40 mm de diâmetro interno e 200 m de comprimento, que conduz 2,5 \mathrm{~L} / \mathrm{s} de fluido com viscosidade cinemática de 10 \times 10^{-7} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. Cite duas medidas que poderiam ser tomadas a fim de se diminuir tal perda de carga.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a perda de carga contínua ao longo de um tubo e que eu indique duas medidas para reduzir essa perda. As informações fornecidas são:
  • rugosidade absoluta do tubo: \varepsilon=0,15\\ \mathrm{mm};
  • diâmetro interno: D=40\\ \mathrm{mm};
  • comprimento do tubo: L=200\\ \mathrm{m};
  • vazão volumétrica: Q=2,5\\ \mathrm{L/s};
  • viscosidade cinemática: \nu=10\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}.
Observações de conversão que vou usar (já extraídas do enunciado):
  • \varepsilon=0{,}15\\ \mathrm{mm}=0{,}00015\\ \mathrm{m}.
  • D=40\\ \mathrm{mm}=0{,}04\\ \mathrm{m}.
  • Q=2{,}5\\ \mathrm{L/s}=0{,}0025\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • \nu=10\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}/s}=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
O que vou encontrar: a perda de carga (carga hidráulica perdida) ao longo do comprimento L do tubo. Não resolvo aqui, só listei dados e o que é pedido.

Passo 2

Calcular a velocidade média no tubo a partir da vazão. Primeiro a área da seção transversal:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0{,}04\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi (0{,}04)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}0004\approx 0{,}00125664\\ \mathrm{m^{2}}.
Velocidade média:
V=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}0025}{0{,}00125664}\approx 1{,}9894\\ \mathrm{m/s}.
Explicação didática: a velocidade média é simplesmente a vazão dividida pela área da seção; isso dá a velocidade equivalente de escoamento se o perfil fosse uniforme (na prática usamos média).

Passo 3

Calcular o número de Reynolds para saber o regime de escoamento. A definição é
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu},
onde V é a velocidade média, D o diâmetro e \nu a viscosidade cinemática. Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{1{,}9894\cdot 0{,}04}{1{,}0\times10^{-6}}\approx 7{,}9577\times10^{4}.
Interpretação: \mathrm{Re}\approx 8\times10^{4} indica escoamento turbulento (tipicamente \mathrm{Re}\gtrsim4000 é turbulento). Isso implica que a perda de carga depende fortemente da rugosidade relativa do tubo e do fator de atrito turbulento.

Passo 4

Calcular a rugosidade relativa \varepsilon/D:
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{0{,}00015}{0{,}04}=0{,}00375.
Comentário: esse valor mostra que o tubo é relativamente rugoso para um diâmetro pequeno — a rugosidade relativa não é desprezível.

Passo 5

Escolha do método para o fator de atrito f. Para escoamento turbulento com rugosidade conhecida usamos a equação de Colebrook (implícita) ou uma fórmula explícita aproximada como Swamee–Jain, que é prática em prova e dá boa precisão. A fórmula de Swamee–Jain é:
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}.
Aqui:
  • f é o fator de atrito de Darcy–Weisbach (adimensional);
  • \varepsilon é a rugosidade absoluta (m);
  • D é o diâmetro (m);
  • \mathrm{Re} é o número de Reynolds (adimensional).
Substituindo os valores:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{0{,}00015}{3{,}7\cdot 0{,}04}\approx 0{,}0010135,
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx\frac{5{,}74}{(7{,}9577\times10^{4})^{0{,}9}}\approx 0{,}000223.
Somando e aplicando a fórmula:
f\approx \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}(0{,}0010135+0{,}000223)\right]^{2}} =\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}(0{,}0012365)\right]^{2}}\approx 0{,}02958.
Didática: f é uma medida adimensional da perda por atrito. Em fluxos laminares f=64/\mathrm{Re}, mas em turbulento precisamos considerar a rugosidade — daí Colebrook/Swamee–Jain.

Passo 6

Calcular a perda de carga contínua h_{f} usando a fórmula de Darcy–Weisbach:
h_{f}=f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g},
onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}. Substituindo f\approx0{,}02958, L/D=200/0{,}04=5000 e V^{2}/(2g):
\frac{V^{2}}{2g}=\frac{(1{,}9894)^{2}}{2\cdot 9{,}81}\approx 0{,}20178\\ \mathrm{m}.
Logo
h_{f}\approx 0{,}02958\cdot 5000\cdot 0{,}20178\approx 29{,}83\\ \mathrm{m}.
Explicação: h_{f} é a perda de carga em metros de coluna de fluido ao longo do comprimento L. A fórmula mostra dependência linear em L, inversa em D (pela razão L/D) e quadrática em V.

Passo 7

Opcional — converter para perda de pressão absoluta (se quiser comparar com bombas):
\Delta p=\rho g h_{f}.
Tomando \rho\approx 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} (água):
\Delta p\approx 1000\cdot 9{,}81\cdot 29{,}83\approx 2{,}925\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\approx 293\\ \mathrm{kPa}.

Passo 8

Citar duas medidas para diminuir a perda de carga e explicar por que funcionam:
  1. Aumentar o diâmetro do tubo. Justificativa rápida com fórmula: como V=\dfrac{4Q}{\pi D^{2}} então V^{2}\propto Q^{2}/D^{4} e como h_{f}\propto \dfrac{L}{D}V^{2} segue que
h_{f}\propto \frac{L\,Q^{2}}{D^{5}}.
Isso mostra que h_{f} diminui fortemente com aumento de D. Exemplo rápido: se eu dobrasse D ( D passa a ser 2D), a perda cairia por um fator 2^{5}=32 (muito eficaz).
  1. Reduzir a rugosidade interna do tubo (usar tubo mais liso, revestimento interno, ou limpar incrustações). Justificativa: a rugosidade entra no cálculo do fator f (pela razão \varepsilon/D); reduzir \varepsilon reduz \varepsilon/D, o que reduz f para escoamento turbulento, diminuindo h_{f}. Alternativa prática: trocar por tubo com menor rugosidade, aplicar revestimento liso, ou escolher outro material.
Observação adicional (rápida e motivadora): também se pode reduzir a vazão Q (em muitas aplicações isso não é desejável) ou encurtar o comprimento L (às vezes impraticável). Mas as duas medidas mais frequentemente aplicáveis são aumentar D e reduzir rugosidade.

Resposta

h_{f}\approx 29{,}83\\ \mathrm{m} (perda de carga ao longo dos 200\\ \mathrm{m}).
Aumentar o diâmetro interno do tubo; reduzir a rugosidade interna (usar tubo mais liso ou revestimento).

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