Encontre a solução particular das seguintes EDOs, utilizando o método dos coeficientes indeterminados
(y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=\cos (\sqrt{2} x)-4 \sin (\sqrt{2} x))
Passo 1
O enunciado dá a seguinte equação diferencial ordinária linear não-homogênea com coeficientes constantes:
y''+4y'+4y=\cos(\sqrt{2}\,x)-4\sin(\sqrt{2}\,x).
O que se pede: encontrar uma solução particular y_{p}(x) dessa equação (ou seja, qualquer solução que satisfaça a igualdade acima; não é preciso escrever a solução geral homogênea aqui, apenas a parte particular).
Informações relevantes fornecidas:
O membro à direita é uma combinação linear de \cos(\sqrt{2}\,x) e \sin(\sqrt{2}\,x).
Os coeficientes da equação diferencial são constantes: 1 para y'', 4 para y' e 4 para y.
Passo 2
Breve explicação do método que vamos usar (em linguagem simples, passo a passo): o método dos coeficientes indeterminados diz que, quando o termo não-homogêneo é P(x)e^{\alpha x}, ou uma combinação de polinômios, exponenciais, senos e cossenos de frequência fixa, podemos supor uma forma de palpite (ansatz) para y_p com constantes desconhecidas e determinar essas constantes substituindo na EDO. No caso de um termo que é combinação de \cos(kx) e \sin(kx), o palpite usual é
y_p(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx),
com A e B constantes a determinar, salvo se houver ressonância (ou seja, se \pm i k forem raízes do polinômio característico da parte homogênea), caso em que multiplicamos o palpite por potências de x. Então primeiro vamos checar se há ressonância verificando as raízes do característico da parte homogênea.
Passo 3
Calcular o polinômio característico da equação homogênea associada y''+4y'+4y=0:
r^{2}+4r+4=0.
Fatorizando:
r^{2}+4r+4=(r+2)^{2},
portanto a raiz é r=-2 (multiplicidade 2). Isso significa que as soluções homogêneas são combinações de e^{-2x} e x e^{-2x}. Como \pm i\sqrt{2} (as raízes correspondentes a \cos(\sqrt{2}x) e \sin(\sqrt{2}x)) não são iguais a -2, NÃO há ressonância. Logo o palpite simples com A\cos(\sqrt{2}x)+B\sin(\sqrt{2}x) é adequado.
Passo 4
Fixar o palpite e calcular derivadas (usar k=\sqrt{2} para simplificar a escrita):
y_p(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx),\qquad k=\sqrt{2}.
Derivando:
y_p'(x)=-A k\sin(kx)+B k\cos(kx),
y_p''(x)=-A k^{2}\cos(kx)-B k^{2}\sin(kx).
Como k^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2, podemos escrever
y_p''(x)=-2A\cos(kx)-2B\sin(kx).
Passo 5
Substituir y_p, y_p' e y_p'' na expressão y''+4y'+4y e agrupar os coeficientes de \cos(kx) e \sin(kx).
Igualar os coeficientes obtidos aos coeficientes do membro direito da EDO. O membro direito é \cos(kx)-4\sin(kx)\), logo obtemos o sistema linear para \(A\) e \(B\):
\[\begin{cases} 2A + 4kB = 1,\\[4pt] -4kA + 2B = -4, \end{cases} \qquad\text{com }k=\sqrt{2}.
Agora resolvemos esse sistema. Vou usar cálculo de determinantes (regra de Cramer) para ficar bem organizado:
Dica amiga para a prova: memorize o padrão do palpite para termos do tipo \cos(kx) ou \sin(kx), sempre verifique ressonância (compare ik com as raízes do característico). Se houver ressonância de ordem m, multiplica-se o palpite por x^{m}. Aqui não houve ressonância, então funcionou direto. Vai dar certo — respira e faz passo a passo como acima.