Para cada funçāo abaixo, determine:
  • o domínio
  • a derivada f^{\prime}(x)
  • os pontos críticos
  • o sinal de f^{\prime}(x) (com esquema na reta real)
  • os intervalos onde f é crescente e decrescente
  • a classificaçāo dos pontos críticos usando o teste da 1^{\text {a }} derivada
    (a) f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x

Passo 1

O enunciado pede, para a função f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x, que determinemos:
  • o domínio de f;
  • a derivada f^{\prime}(x);
  • os pontos críticos;
  • o sinal de f^{\prime}(x) com um esquema na reta real;
  • os intervalos onde f é crescente e decrescente;
  • a classificação dos pontos críticos usando o teste da 1^{\text{a}} derivada.
Informações dadas: a função é f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x. Não há outras informações externas.

Passo 2

Domínio. Polinômios estão definidos para todo número real, portanto o domínio é
(-\infty,\infty).
Breve explicação: não há divisão por zero nem raízes pares com expressão dentro, é só um polinômio — então pode-se colocar qualquer x.

Passo 3

Vamos calcular f^{\prime}(x). Vou usar a regra do poder (power rule): a derivada de x^{n} é n x^{n-1}, e a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Aplicando termo a termo:
  • derivada de x^{3} é 3x^{2};
  • derivada de -6x^{2} é -12x (porque -6\cdot 2 x^{1});
  • derivada de 9x é 9.
Portanto,
f^{\prime}(x)=3x^{2}-12x+9.
Podemos fatorar para facilitar o estudo do sinal:
f^{\prime}(x)=3(x^{2}-4x+3)=3(x-1)(x-3).

Passo 4

Pontos críticos. Definição: pontos críticos são os pontos onde f^{\prime}(x)=0 ou onde f^{\prime} não está definida. Aqui f^{\prime} está definida para todo x, então procuramos as raízes de f^{\prime}(x):
3(x-1)(x-3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=1\\ \text{ou}\\ x=3.
Logo os pontos críticos em abscissas são x=1 e x=3.

Passo 5

Valores de f nesses pontos (útil para interpretar máximos/mínimos):
f(1)=1^{3}-6\cdot1^{2}+9\cdot1=1-6+9=4,
f(3)=3^{3}-6\cdot3^{2}+9\cdot3=27-54+27=0.
Portanto os pontos críticos são (1,4) e (3,0).

Passo 6

Sinal de f^{\prime}(x). Usamos a fatoração f^{\prime}(x)=3(x-1)(x-3). O fator constante 3 é positivo e não muda o sinal. Os zeros estão em x=1 e x=3; entre esses pontos o sinal é determinado pelo produto (x-1)(x-3).
Teste rápido por intervalos:
  • Para x<1 (ex.: x=0): (0-1)(0-3)=(-1)(-3)=+3 f^{\prime}(x)>0.
  • Para 1<x<3 (ex.: x=2): (2-1)(2-3)=(1)(-1)=-1 f^{\prime}(x)<0.
  • Para x>3 (ex.: x=4): (4-1)(4-3)=(3)(1)=+3 f^{\prime}(x)>0.
Esquema na reta real:
\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,1) & 1 & (1,3) & 3 & (3,\infty)\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \end{array}

Passo 7

Intervalos de crescimento e decrescimento. A relação entre sinal da derivada e monotonia:
  • Se f^{\prime}(x)>0 em um intervalo, f é crescente ali.
  • Se f^{\prime}(x)<0 em um intervalo, f é decrescente ali.
Aplicando ao esquema:
  • f é crescente em (-\infty,1) e em (3,\infty).
  • f é decrescente em (1,3).

Passo 8

Classificação dos pontos críticos pelo teste da primeira derivada. Regra do teste:
  • Se f^{\prime} muda de positivo para negativo passando por um ponto crítico, esse ponto é um máximo local.
  • Se f^{\prime} muda de negativo para positivo, é um mínimo local.
  • Se não há mudança de sinal, não é extremo local (pode ser ponto de inflexão).
Aplicando:
  • Em x=1: f^{\prime} vai de + (à esquerda) para - (à direita) → mudança +\to- x=1 é um máximo local. Valor f(1)=4.
  • Em x=3: f^{\prime} vai de - (à esquerda) para + (à direita) → mudança -\to+ x=3 é um mínimo local. Valor f(3)=0.

Resposta

Domínio: (-\infty,\infty)
Derivada: f^{\prime}(x)=3x^{2}-12x+9=3(x-1)(x-3)
Pontos críticos: x=1 e x=3 (valores f(1)=4,\\ f(3)=0)
Sinal de f^{\prime}(x) (esquema):
\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,1) & 1 & (1,3) & 3 & (3,\infty)\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \end{array}
Intervalos de crescimento/decrescimento: crescente em (-\infty,1)\cup(3,\infty); decrescente em (1,3)
Classificação dos pontos críticos (teste da 1ª derivada): x=1 máximo local ( f(1)=4); x=3 mínimo local ( f(3)=0).

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