Para cada funçāo abaixo, determine:
- o domínio
- a derivada
- os pontos críticos
- o sinal de
(com esquema na reta real)
- os intervalos onde
é crescente e decrescente
- a classificaçāo dos pontos críticos usando o teste da
derivada
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede, para a função
, que determinemos:
- o domínio de
; - a derivada
; - os pontos críticos;
- o sinal de
com um esquema na reta real; - os intervalos onde
é crescente e decrescente; - a classificação dos pontos críticos usando o teste da
derivada.
Informações dadas: a função é
. Não há outras informações externas.
Passo 2
Domínio. Polinômios estão definidos para todo número real, portanto o domínio é
Breve explicação: não há divisão por zero nem raízes pares com expressão dentro, é só um polinômio — então pode-se colocar qualquer
.
Passo 3
Vamos calcular
. Vou usar a regra do poder (power rule): a derivada de
é
, e a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Aplicando termo a termo:
- derivada de
é ; - derivada de
é (porque ); - derivada de
é .
Portanto,
Podemos fatorar para facilitar o estudo do sinal:
Passo 4
Pontos críticos. Definição: pontos críticos são os pontos onde
ou onde
não está definida. Aqui
está definida para todo
, então procuramos as raízes de
:
Logo os pontos críticos em abscissas são
e
.
Passo 5
Valores de
nesses pontos (útil para interpretar máximos/mínimos):
Portanto os pontos críticos são
e
.
Passo 6
Sinal de
. Usamos a fatoração
. O fator constante
é positivo e não muda o sinal. Os zeros estão em
e
; entre esses pontos o sinal é determinado pelo produto
.
Teste rápido por intervalos:
- Para
(ex.: ): → . - Para
(ex.: ): → . - Para
(ex.: ): → .
Esquema na reta real:
Passo 7
Intervalos de crescimento e decrescimento. A relação entre sinal da derivada e monotonia:
- Se
em um intervalo, é crescente ali. - Se
em um intervalo, é decrescente ali.
Aplicando ao esquema:
-
é crescente em e em . -
é decrescente em .
Passo 8
Classificação dos pontos críticos pelo teste da primeira derivada. Regra do teste:
- Se
muda de positivo para negativo passando por um ponto crítico, esse ponto é um máximo local. - Se
muda de negativo para positivo, é um mínimo local. - Se não há mudança de sinal, não é extremo local (pode ser ponto de inflexão).
Aplicando:
- Em
: vai de (à esquerda) para (à direita) → mudança → é um máximo local. Valor . - Em
: vai de (à esquerda) para (à direita) → mudança → é um mínimo local. Valor .
Resposta
Domínio:
Derivada:
Pontos críticos: e
(valores
)
Sinal de (esquema):
Derivada:
Pontos críticos:
Sinal de
Intervalos de crescimento/decrescimento: crescente em
; decrescente em
Classificação dos pontos críticos (teste da 1ª derivada): máximo local (
);
mínimo local (
).
Classificação dos pontos críticos (teste da 1ª derivada):