Encontre a solução particular das seguintes EDOs, utilizando o método dos coeficientes indeterminados
(y^{\prime \prime}-y^{\prime}-3 y=\cos (2 x)+\sin (2 x))
(y^{\prime \prime}-y^{\prime}-3 y=\cos (2 x)+\sin (2 x))
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma solução particular da EDO não-homogênea
Informações dadas:
- A equação diferencial linear com coeficientes constantes tem termo não-homogêneo igual a
. - Precisa-se só da solução particular (não é pedido resolver a solução geral, apenas uma solução particular que satisfaça a equação).
Passo 2
Para ver se a forma sugerida pelo método dos coeficientes indeterminados precisa ser modificada (por exemplo multiplicada por
), é útil analisar a equação homogênea associada e suas raízes características. A equação homogênea é
A equação característica associada é
Resolvendo essa quadrática:
As duas raízes são reais e distintas:
. Como nenhuma raiz da característica é um número imaginário puro
, não existe ressonância com os termos
e
. Logo a forma “padrão” para a particular não precisa ser multiplicada por
.
Passo 3
Pelo método dos coeficientes indeterminados, quando o termo não-homogêneo é uma combinação de
e
e não há ressonância, tentamos uma solução particular da forma
onde
e
são constantes desconhecidas que vamos determinar. Explicando por que essa forma: a derivação de
e
fecha entre si (derivadas continuam sendo combinações de
e
), então ao aplicar o operador linear
o resultado será outra combinação dessas duas funções, possibilitando igualar coeficientes e determinar
.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
. Começando por
Derivando:
Aqui usei que
e
.
Passo 5
Substituímos
no lado esquerdo da EDO
. Calculemos termo a termo e agrupemos em
e
.
Para o coeficiente de
:
- de
contribui , - de
como tem , então contribui , - de
contribui .
Somando:
Para o coeficiente de
:
- de
contribui , - de
como tem , então contribui , - de
contribui .
Somando:
Portanto
Passo 6
Igualamos
ao termo não-homogêneo
. Como
e
são linearmente independentes, igualam-se coeficientes:
Passo 7
Resolvendo o sistema linear. Vou usar eliminação para ser bem claro.
Multiplique a segunda equação por
(já está ok). Para eliminar
, podemos multiplicar a primeira por
e a segunda por
e subtrair, assim igualando os coeficientes de
:
Subtraindo a segunda linha da primeira:
Logo
Agora achamos
usando, por exemplo,
:
Isolando
:
Passo 8
Portanto a solução particular encontrada é
Se quiser, pode escrever de forma fatorada: