Encontre a solução particular das seguintes EDOs, utilizando o método dos coeficientes indeterminados
(y^{\prime \prime}-y^{\prime}-3 y=\cos (2 x)+\sin (2 x))

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma solução particular da EDO não-homogênea
y^{\prime\prime}-y^{\prime}-3y=\cos(2x)+\sin(2x).
Informações dadas:
  • A equação diferencial linear com coeficientes constantes tem termo não-homogêneo igual a \cos(2x)+\sin(2x).
  • Precisa-se só da solução particular (não é pedido resolver a solução geral, apenas uma solução particular que satisfaça a equação).

Passo 2

Para ver se a forma sugerida pelo método dos coeficientes indeterminados precisa ser modificada (por exemplo multiplicada por x), é útil analisar a equação homogênea associada e suas raízes características. A equação homogênea é
y^{\prime\prime}-y^{\prime}-3y=0.
A equação característica associada é
r^{2}-r-3=0.
Resolvendo essa quadrática:
r=\frac{1\pm\sqrt{1+12}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}.
As duas raízes são reais e distintas: r=\dfrac{1\pm\sqrt{13}}{2}. Como nenhuma raiz da característica é um número imaginário puro \pm 2i, não existe ressonância com os termos \cos(2x) e \sin(2x). Logo a forma “padrão” para a particular não precisa ser multiplicada por x.

Passo 3

Pelo método dos coeficientes indeterminados, quando o termo não-homogêneo é uma combinação de \cos(2x) e \sin(2x) e não há ressonância, tentamos uma solução particular da forma
y_p=A\cos(2x)+B\sin(2x),
onde A e B são constantes desconhecidas que vamos determinar. Explicando por que essa forma: a derivação de \cos(2x) e \sin(2x) fecha entre si (derivadas continuam sendo combinações de \cos(2x) e \sin(2x)), então ao aplicar o operador linear D^2-D-3 o resultado será outra combinação dessas duas funções, possibilitando igualar coeficientes e determinar A,B.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_p. Começando por
y_p=A\cos(2x)+B\sin(2x).
Derivando:
y_p'=-2A\sin(2x)+2B\cos(2x),
y_p''=-4A\cos(2x)-4B\sin(2x).
Aqui usei que \dfrac{d}{dx}\cos(2x)=-2\sin(2x) e \dfrac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x).

Passo 5

Substituímos y_p,y_p',y_p'' no lado esquerdo da EDO L[y]=y''-y'-3y. Calculemos termo a termo e agrupemos em \cos(2x) e \sin(2x).
Para o coeficiente de \cos(2x):
  • de y_p'': contribui -4A,
  • de -y_p': como y_p' tem +2B\cos(2x), então -y_p' contribui -2B,
  • de -3y_p: contribui -3A.
    Somando:
\text{coeficiente de }\cos(2x):\\\ -4A-2B-3A=-7A-2B.
Para o coeficiente de \sin(2x):
  • de y_p'': contribui -4B,
  • de -y_p': como y_p' tem -2A\sin(2x), então -y_p' contribui +2A,
  • de -3y_p: contribui -3B.
    Somando:
\text{coeficiente de }\sin(2x):\\\ -4B+2A-3B=2A-7B.
Portanto
L[y_p]=( -7A-2B)\cos(2x)+(2A-7B)\sin(2x).

Passo 6

Igualamos L[y_p] ao termo não-homogêneo \cos(2x)+\sin(2x). Como \cos(2x) e \sin(2x) são linearmente independentes, igualam-se coeficientes:
\begin{cases} -7A-2B=1,\\[4pt] 2A-7B=1. \end{cases}]

Passo 7

Resolvendo o sistema linear. Vou usar eliminação para ser bem claro.
Multiplique a segunda equação por 1 (já está ok). Para eliminar B, podemos multiplicar a primeira por 7 e a segunda por 2 e subtrair, assim igualando os coeficientes de B:
\begin{aligned} 7\cdot(-7A-2B)&=7\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad -49A-14B=7,\\\\ 2\cdot(2A-7B)&=2\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad 4A-14B=2. \end{aligned}
Subtraindo a segunda linha da primeira:
(-49A-14B)-(4A-14B)=7-2 \quad\Rightarrow\quad -53A=5.
Logo
A=-\frac{5}{53}.
Agora achamos B usando, por exemplo, 2A-7B=1:
2\!\left(-\frac{5}{53}\right)-7B=1 \quad\Rightarrow\quad -\frac{10}{53}-7B=1.
Isolando B:
-7B=1+\frac{10}{53}=\frac{53}{53}+\frac{10}{53}=\frac{63}{53},
B=-\frac{63}{53}\cdot\frac{1}{7}=-\frac{9}{53}.

Passo 8

Portanto a solução particular encontrada é
y_p(x)=-\frac{5}{53}\cos(2x)-\frac{9}{53}\sin(2x).
Se quiser, pode escrever de forma fatorada:
y_p(x)=-\frac{1}{53}\bigl(5\cos(2x)+9\sin(2x)\bigr).

Resposta

\displaystyle y_p(x)=-\frac{5}{53}\cos(2x)-\frac{9}{53}\sin(2x)

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