Para cada função f: R^2 R abaixo, determine: O domínio e a imagem da função.
f(x, y)=1x^2+y^2-4

Passo 1

Então, temos a função $ f(x, y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2} - 4} $. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o domínio e a imagem dessa função. Isso significa que vamos identificar todos os pares f(x, y) = 1x^2 + y^2 - 4 que podemos colocar na função sem problemas (domínio) e todos os possíveis resultados que a função pode gerar (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada que a função pode aceitar. No nosso caso, isso significa encontrar todos os valores de x e y que não fazem a função ficar indefinida ou sem sentido.

Passo 3

Observando a função $ f(x, y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2} - 4} $, vemos que temos uma fração. Para que uma fração seja válida, o denominador não pode ser zero. Então, precisamos garantir que $ x^{2} + y^{2} - 4 \neq 0 $.

Passo 4

Vamos resolver a inequação $ x^{2} + y^{2} - 4 \neq 0 $. Isso equivale a $ x^{2} + y^{2} \neq 4 $. Reconhecemos que $ x^{2} + y^{2} = 4 $ é a equação de um círculo com raio 2 centrado na origem. Portanto, o domínio inclui todos os pontos no plano $ \mathbb{R}^2 $ exceto os que estão exatamente nessa circunferência.

Passo 5

Agora, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que $ f(x, y) $ pode assumir. Como $ f(x, y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2} - 4} $, vamos analisar os valores que o denominador pode ter.

Passo 6

Sabemos que $ x^{2} + y^{2} $ representa a distância ao quadrado do ponto x^2 + y^2 até a origem. Já que excluímos $ x^{2} + y^{2} = 4 $, temos $ x^{2} + y^{2} > 4 $ ou $ x^{2} + y^{2} < 4 $.

Passo 7

  • Se $ x^{2} + y^{2} > 4 $, então $ x^{2} + y^{2} - 4 > 0 $, o que faz com que $ f(x, y) = \frac{1}{positivo} $ seja positivo.
  • Se $ x^{2} + y^{2} < 4 $, então $ x^{2} + y^{2} - 4 < 0 $, o que faz com que $ f(x, y) = \frac{1}{negativo} $ seja negativo.
Além disso, conforme $ x^{2} + y^{2} $ se aproxima de 4, $ f(x, y) $ tende ao infinito positivo ou negativo, dependendo de onde estamos em relação ao círculo.

Passo 8

Portanto, a imagem da função $ f $ consiste em todos os números reais exceto zero. Isso porque nunca podemos ter $ f(x, y) = 0 $, já que isso exigiria que o numerador fosse zero, o que não acontece na nossa função.

Resposta

  • Domínio: Todos os pares (x, y) em $ \mathbb{R}^2 $ tais que $ x^{2} + y^{2} \neq 4 $.
  • Imagem: Todos os números reais $ \mathbb{R} $ exceto zero, ou seja, $ \mathbb{R} \setminus {0} $.

Exercícios relacionados