Para cada função
abaixo, determine: O domínio e a imagem da função.
Passo 1
Então, temos a função $ f(x, y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2} - 4} $. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o domínio e a imagem dessa função. Isso significa que vamos identificar todos os pares
que podemos colocar na função sem problemas (domínio) e todos os possíveis resultados que a função pode gerar (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada que a função pode aceitar. No nosso caso, isso significa encontrar todos os valores de
e
que não fazem a função ficar indefinida ou sem sentido.
Passo 3
Observando a função $ f(x, y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2} - 4} $, vemos que temos uma fração. Para que uma fração seja válida, o denominador não pode ser zero. Então, precisamos garantir que $ x^{2} + y^{2} - 4 \neq 0 $.
Passo 4
Vamos resolver a inequação $ x^{2} + y^{2} - 4 \neq 0 $. Isso equivale a $ x^{2} + y^{2} \neq 4 $. Reconhecemos que $ x^{2} + y^{2} = 4 $ é a equação de um círculo com raio 2 centrado na origem. Portanto, o domínio inclui todos os pontos no plano $ \mathbb{R}^2 $ exceto os que estão exatamente nessa circunferência.
Passo 5
Agora, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que $ f(x, y) $ pode assumir. Como $ f(x, y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2} - 4} $, vamos analisar os valores que o denominador pode ter.
Passo 6
Sabemos que $ x^{2} + y^{2} $ representa a distância ao quadrado do ponto
até a origem. Já que excluímos $ x^{2} + y^{2} = 4 $, temos $ x^{2} + y^{2} > 4 $ ou $ x^{2} + y^{2} < 4 $.
Passo 7
- Se $ x^{2} + y^{2} > 4 $, então $ x^{2} + y^{2} - 4 > 0 $, o que faz com que $ f(x, y) = \frac{1}{positivo} $ seja positivo.
- Se $ x^{2} + y^{2} < 4 $, então $ x^{2} + y^{2} - 4 < 0 $, o que faz com que $ f(x, y) = \frac{1}{negativo} $ seja negativo.
Além disso, conforme $ x^{2} + y^{2} $ se aproxima de 4, $ f(x, y) $ tende ao infinito positivo ou negativo, dependendo de onde estamos em relação ao círculo.
Passo 8
Portanto, a imagem da função $ f $ consiste em todos os números reais exceto zero. Isso porque nunca podemos ter $ f(x, y) = 0 $, já que isso exigiria que o numerador fosse zero, o que não acontece na nossa função.
Resposta
- Domínio: Todos os pares
em $ \mathbb{R}^2 $ tais que $ x^{2} + y^{2} \neq 4 $. - Imagem: Todos os números reais $ \mathbb{R} $ exceto zero, ou seja, $ \mathbb{R} \setminus {0} $.