Para cada função f: R^2 R abaixo, determine: O domínio e a imagem da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio e a imagem da função $ f(x, y) = \ln(x - y^{2}) $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções logarítmicas e suas restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares (x, y) para os quais a função está definida. No caso da função logarítmica $ \ln(z) $, o argumento $ z $ precisa ser maior que zero porque o logaritmo de números não positivos não está definido nos reais.
Então, para $ f(x, y) = \ln(x - y^{2}) $, precisamos que:
ln(z)

Passo 3

Agora, vamos reescrever essa desigualdade para encontrar a relação entre $ x $ e $ y $:
x
Isso significa que, para cada valor de $ y $, $ x $ precisa ser maior que $ y^{2} $.

Passo 4

Portanto, o domínio da função é todos os pares (x, y) onde $ x $ é maior que $ y^{2} $. Em outras palavras:
x í

Passo 5

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que $ f(x, y) $ pode assumir.
Sabemos que $ \ln(z) $ pode assumir qualquer valor real quando $ z > 0 $. Como $ x - y^{2} $ é sempre positivo dentro do domínio, $ f(x, y) $ pode variar de f(x, y) até ln(z) .

Resposta

  • Domínio: $ { (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \ | \ x > y^{2} } $
  • Imagem: $ \mathbb{R} $ (todos os números reais)

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