Seja
Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção de
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada direcional de
f(x,y)=x−y \operatorname{sen}(π(x²+y²)) no ponto (0,0) na direção de v=(1/2,√3/2). O conteúdo é derivada direcional e gradiente: vamos precisar das derivadas parciais de f e da fórmula que relaciona derivada direcional e produto escalar com o vetor gradiente.
f(x,y)=x−y \operatorname{sen}(π(x²+y²)) no ponto (0,0) na direção de v=(1/2,√3/2). O conteúdo é derivada direcional e gradiente: vamos precisar das derivadas parciais de f e da fórmula que relaciona derivada direcional e produto escalar com o vetor gradiente.
Passo 2
Antes de tudo, verificamos se v é vetor unitário. Calculamos a norma:
Como |v|=1, podemos usar diretamente a fórmula D_vf(0,0)=∇f(0,0)·v.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais de f. Como
temos
No ponto (0,0) temos x=y=0 e \operatorname{sen}(0)=0, logo
Assim ∇f(0,0)=(1,0).
Passo 4
Finalmente, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Resposta
\tfrac12