Seja
f(x, y)=x-y sen(pi(x^2+y^2))
Calcule a derivada direcional de f no ponto (0,0) na direção de v=(1 / 2, raiz3 / 2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada direcional de
f(x,y)=x−y \operatorname{sen}(π(x²+y²)) no ponto (0,0) na direção de v=(1/2,√3/2). O conteúdo é derivada direcional e gradiente: vamos precisar das derivadas parciais de f e da fórmula que relaciona derivada direcional e produto escalar com o vetor gradiente.

Passo 2

Antes de tudo, verificamos se v é vetor unitário. Calculamos a norma:
|v|=raiz(1/2)²+(raiz3/2)²=raiz1/4+3/4=1 ²²
Como |v|=1, podemos usar diretamente a fórmula D_vf(0,0)=∇f(0,0)·v.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de f. Como
f(x,y)=x−y,sen(π(x²+y²)), ²²
temos
partial fpartial x=1−ycdotddxl[sen(π(x²+y²))r] =1−yl(2πxcos(π(x²+y²))r), ²²²²
partial fpartial y=-sen(π(x²+y²))−yl(2πycos(π(x²+y²))r) ²²²²
No ponto (0,0) temos x=y=0 e \operatorname{sen}(0)=0, logo
partial fpartial x(0,0)=1, partial fpartial y(0,0)=0
Assim ∇f(0,0)=(1,0).

Passo 4

Finalmente, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Dvf(0,0)=∇f(0,0)cdot v=(1,0)cdotl(tfrac12,tfracraiz32r)=tfrac12

Resposta

\tfrac12

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