Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.
f(x, y)=1+2 x raizy, (3,4), v=(4,-3).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=1+2x√y no ponto (3,4) na direção de v=(4,−3). Vamos usar o conceito de derivada direcional: ela é o produto escalar entre o gradiente de f e o vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f. Para f(x,y)=1+2x√y temos:
fx=∂f∂x=2raizy, fy=∂f∂y=2xcdot12raizy=xraizy

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente no ponto (3,4). Como √4=2, obtemos:
fx(3,4)=2cdot2=4, fy(3,4)=32=tfrac32

Passo 4

Em seguida determinamos o vetor unitário u na direção de v. O módulo de v=(4,−3) é |v|=raiz4^2+(-3)^2=5Então u=l(45,-35r)

Passo 5

Por fim, a derivada direcional D_uf é o gradiente dot u:
Duf=lang<= fx(3,4),fy(3,4)rang<=cdot u=4cdot45+32cdotl(-35r)=165-910=32-910=2310

Resposta

D_uf(3,4)=\tfrac{23}{10}

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