Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=1+2x√y no ponto (3,4) na direção de v=(4,−3). Vamos usar o conceito de derivada direcional: ela é o produto escalar entre o gradiente de f e o vetor unitário na direção dada.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de f. Para f(x,y)=1+2x√y temos:
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente no ponto (3,4). Como √4=2, obtemos:
Passo 4
Em seguida determinamos o vetor unitário u na direção de v. O módulo de v=(4,−3) é
Então
Passo 5
Por fim, a derivada direcional D_uf é o gradiente dot u:
Resposta
D_uf(3,4)=\tfrac{23}{10}