Para cada função
abaixo, determine: O domínio e a imagem da função.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar o domínio e a imagem da função $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $. O conteúdo envolvido aqui inclui conceitos de domínio e imagem de funções multivariáveis. Para resolver isso, vamos entender primeiro o que são domínio e imagem.
Passo 2
Domínio: É o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. No caso de $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $, estamos lidando com números reais, e $ x^{2} $ e $ y^{2} $ são definidos para todos os $ x $ e $ y $ em
.
Passo 3
Portanto, o domínio da função é todo o
, ou seja, todos os pares de números reais
.
Passo 4
Imagem: É o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir. Para $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $, vamos pensar nos valores que $ x^{2} + y^{2} $ pode ter.
Passo 5
Como $ x^{2} $ e $ y^{2} $ são sempre maiores ou iguais a zero (pois qualquer número ao quadrado é não negativo), a soma $ x^{2} + y^{2} $ também será sempre maior ou igual a zero.
Passo 6
Além disso, não há um limite superior para $ x^{2} + y^{2} $, já que $ x $ e $ y $ podem assumir valores muito grandes positivos ou negativos, fazendo com que a soma aumente indefinidamente.
Passo 7
Portanto, a imagem da função é todo o conjunto dos números reais não negativos, ou seja,
.
Resposta
- Domínio:
- Imagem: