Para cada função f: R^2 R abaixo, determine: O domínio e a imagem da função.
f(x, y)=x^2+y^2

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar o domínio e a imagem da função $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $. O conteúdo envolvido aqui inclui conceitos de domínio e imagem de funções multivariáveis. Para resolver isso, vamos entender primeiro o que são domínio e imagem.

Passo 2

Domínio: É o conjunto de todos os pares (x, y) para os quais a função está definida. No caso de $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $, estamos lidando com números reais, e $ x^{2} $ e $ y^{2} $ são definidos para todos os $ x $ e $ y $ em f(x, y) = x^2 + y^2 .

Passo 3

Portanto, o domínio da função é todo o R^2, ou seja, todos os pares de números reais (x, y).

Passo 4

Imagem: É o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir. Para $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $, vamos pensar nos valores que $ x^{2} + y^{2} $ pode ter.

Passo 5

Como $ x^{2} $ e $ y^{2} $ são sempre maiores ou iguais a zero (pois qualquer número ao quadrado é não negativo), a soma $ x^{2} + y^{2} $ também será sempre maior ou igual a zero.

Passo 6

Além disso, não há um limite superior para $ x^{2} + y^{2} $, já que $ x $ e $ y $ podem assumir valores muito grandes positivos ou negativos, fazendo com que a soma aumente indefinidamente.

Passo 7

Portanto, a imagem da função é todo o conjunto dos números reais não negativos, ou seja, [0, +infty).

Resposta

  • Domínio: R^2
  • Imagem: [0, +infty)

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