Para cada função f: R^2 R abaixo, determine: O domínio e a imagem da função.
f(x, y)=x+yraiz1-x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e a imagem da função $ f(x, y) = \frac{x + y}{\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}} $. Isso envolve entender onde a função está “valendo a pena” (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para isso, vamos usar conceitos de funções de várias variáveis e análise de expressões matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares (x, y) para os quais a função está bem definida, ou seja, onde a operação matemática faz sentido.

Passo 3

Observando a função $ f(x, y) = \frac{x + y}{\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}} $, vemos que temos uma raiz quadrada no denominador. Para que a raiz quadrada seja válida, o que está dentro dela tem que ser maior que zero. Então, precisamos que:
f(x, y) = x + yraiz1 - x^2 - y^2
Isso significa que:
1 - x^2 - y^2 > 0
Essa é a inequação de um círculo com raio 1 no plano x^2 + y^2 < 1 . Portanto, o domínio da função é o interior desse círculo.

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, quais valores $ f(x, y) $ pode assumir. A expressão f(x, y) sugere que, à medida que $ x^{2} + y^{2} $ se aproxima de 1 (mas sem nunca alcançar), o denominador tende a zero, fazendo com que $ f(x, y) $ cresça sem limites positivos ou negativos, dependendo do sinal de $ x + y $.
Além disso, dentro do domínio $ x^{2} + y^{2} < 1 $, $ x + y $ pode assumir qualquer valor real, positivo ou negativo, tornando $ f(x, y) $ capaz de alcançar qualquer número real.

Resposta

  • Domínio: $ {, (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2} + y^{2} < 1 ,} $
  • Imagem: $ \mathbb{R} $ (todos os números reais)

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