Para cada função
abaixo, determine: O domínio e a imagem da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e a imagem da função $ f(x, y) = \frac{x + y}{\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}} $. Isso envolve entender onde a função está “valendo a pena” (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para isso, vamos usar conceitos de funções de várias variáveis e análise de expressões matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está bem definida, ou seja, onde a operação matemática faz sentido.
Passo 3
Observando a função $ f(x, y) = \frac{x + y}{\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}} $, vemos que temos uma raiz quadrada no denominador. Para que a raiz quadrada seja válida, o que está dentro dela tem que ser maior que zero. Então, precisamos que:
Isso significa que:
Essa é a inequação de um círculo com raio 1 no plano
. Portanto, o domínio da função é o interior desse círculo.
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, quais valores $ f(x, y) $ pode assumir. A expressão
sugere que, à medida que $ x^{2} + y^{2} $ se aproxima de 1 (mas sem nunca alcançar), o denominador tende a zero, fazendo com que $ f(x, y) $ cresça sem limites positivos ou negativos, dependendo do sinal de $ x + y $.
Além disso, dentro do domínio $ x^{2} + y^{2} < 1 $, $ x + y $ pode assumir qualquer valor real, positivo ou negativo, tornando $ f(x, y) $ capaz de alcançar qualquer número real.
Resposta
- Domínio: $ {, (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2} + y^{2} < 1 ,} $
- Imagem: $ \mathbb{R} $ (todos os números reais)