Para cada função f: R^2 R abaixo, determine: O domínio e a imagem da função.
f(x, y)=x+yraizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função $ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $ definida por:
f: R^2 R
Vamos precisar entender o que é domínio e imagem de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de entrada (no caso, pares f(x, y) = x + yraizx^2 + y^2 ) para os quais a função está definida. Já a imagem é o conjunto de todos os valores de saída que a função pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Olhando para a expressão:
f(x, y) = x + yraizx^2 + y^2
O denominador é raizx^2 + y^2. Como estamos lidando com raízes quadradas, é importante que o que está dentro da raiz seja positivo ou zero, mas nunca negativo. Além disso, para que a divisão seja válida, o denominador não pode ser zero, pois a divisão por zero não está definida.
Então, temos duas condições:
  1. x^2 + y^2 >= 0 – isso sempre é verdadeiro para reais x e y, já que quadrados são não negativos.
  2. $ \sqrt{x^{2} + y^{2}} \neq 0 $ – isso significa que raizx^2 + y^2 neq 0 , ou seja, x^2 + y^2 neq 0 ou x neq 0.
Portanto, o domínio da função é todo o plano y neq 0 menos o ponto R^2.

Passo 3

Agora, vamos descobrir a imagem da função. Precisamos identificar todos os possíveis valores que f(x, y) pode assumir.
A função é:
f(x, y) = x + yraizx^2 + y^2
Vamos simplificar isso pensando em coordenadas polares, onde x = r costheta e y = r sintheta, sendo r = raizx^2 + y^2. Substituindo na função:
f(x, y) = r costheta + r sinthetar = costheta + sintheta
Então, a função depende apenas de theta, o ângulo que o ponto (x, y) forma com o eixo x.
Sabemos que costheta + sintheta pode ser reescrito usando a fórmula de soma:
costheta + sintheta = raiz2 sin(theta + pi4)
Sabendo que sin de qualquer ângulo está entre -1 e 1, multiplicando por raiz2, o valor de raiz2 sin(theta + pi4) estará entre -raiz2 e raiz2.
Portanto, a imagem da função é o intervalo [ -raiz2, raiz2 ].

Resposta

- Domínio: Todos os pares (x, y) em R^2 diferentes de (0, 0).
- Imagem: O intervalo [, -raiz2, raiz2 ,].

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