Para cada função
abaixo, determine: O domínio e a imagem da função.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função $ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $ definida por:
Vamos precisar entender o que é domínio e imagem de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de entrada (no caso, pares
) para os quais a função está definida. Já a imagem é o conjunto de todos os valores de saída que a função pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Olhando para a expressão:
O denominador é
. Como estamos lidando com raízes quadradas, é importante que o que está dentro da raiz seja positivo ou zero, mas nunca negativo. Além disso, para que a divisão seja válida, o denominador não pode ser zero, pois a divisão por zero não está definida.
Então, temos duas condições:
-
– isso sempre é verdadeiro para reais e , já que quadrados são não negativos. - $ \sqrt{x^{2} + y^{2}} \neq 0 $ – isso significa que
, ou seja, ou .
Portanto, o domínio da função é todo o plano
menos o ponto
.
Passo 3
Agora, vamos descobrir a imagem da função. Precisamos identificar todos os possíveis valores que
pode assumir.
A função é:
Vamos simplificar isso pensando em coordenadas polares, onde
e
, sendo
. Substituindo na função:
Então, a função depende apenas de
, o ângulo que o ponto
forma com o eixo
.
Sabemos que
pode ser reescrito usando a fórmula de soma:
Sabendo que
de qualquer ângulo está entre
e
, multiplicando por
, o valor de
estará entre
e
.
Portanto, a imagem da função é o intervalo
.
Resposta
- Domínio: Todos os pares
em
diferentes de
.
- Imagem: O intervalo .
- Imagem: O intervalo