Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y).
f(x, y)=x^3-3 x^2+27 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos valores máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função f(x,y)=x3−3x2+27y. Estamos em cálculo de funções de duas variáveis e vamos usar derivadas parciais para achar pontos críticos.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e a y.
Temos:
fx(x,y)=partialpartial xl(x^3-3x^2+27yr)=3x^2-6x
fy(x,y)=partialpartial yl(x^3-3x^2+27yr)=27

Passo 3

Para achar pontos críticos, impomos f_x=0 e f_y=0 simultaneamente. Do primeiro, 3x^2−6x=0 ⇒ x(x−2)=0 ⇒ x=0 ou x=2. Mas f_y=27 nunca zera. Isso significa que não existe (x,y) que anule ambas as derivadas parciais ao mesmo tempo. Portanto não há ponto crítico.

Passo 4

Se não há ponto crítico, não podem existir extremos locais nem pontos de sela. Assim concluímos que a função não possui máximos locais, mínimos locais nem pontos de sela.

Resposta

A função não possui valores máximos locais, mínimos locais nem pontos de sela.

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