Para cada função abaixo, determine o domínio máximo e o contradomínio para que ela seja bijetora. Neste caso, encontre uma expressão analítica para f^{-1}.
f(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{3\left(x^{3}+1\right)}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{3\left(x^{3}+1\right)}}
e pede duas coisas:
  • determinar o domínio máximo (conjunto de x) e o contradomínio que tornam f bijetora;
  • encontrar uma expressão analítica para a inversa f^{-1}.
Informações relevantes do enunciado:
  • a função envolve potências e a função exponencial \mathrm{e}^{(\cdot)};
  • não foram dadas restrições explícitas sobre x.

Passo 2

Determinar o domínio natural da função (onde a expressão faz sentido).
A expressão x^{3}+1 está definida para todo x\in\mathbb{R}. A função exponencial \mathrm{e}^{t} está definida para todo t\in\mathbb{R}. Como f é composta de polinômio e exponenciais, não há singularidades ou divisões por zero a impedir definição.
Logo o domínio natural (e candidato a domínio máximo) é
\mathbb{R}.

Passo 3

Verificar injetividade (idéia: mostrar que f é estritamente monotônica).
Para examinar monotonicidade, observe a composição em etapas. Defina
g(x)=3\bigl(x^{3}+1\bigr).
Mostra-se que x\mapsto x^{3} é estritamente crescente: se a<b então
b^{3}-a^{3}=(b-a)\bigl(b^{2}+ab+a^{2}\bigr)>0,
pois b-a>0 e b^{2}+ab+a^{2}>0. Multiplicar por 3 e somar 3 não altera essa ordem, então g é estritamente crescente em \mathbb{R}.
A função \varphi(t)=\mathrm{e}^{t} é estritamente crescente em \mathbb{R}. A composição de funções estritamente crescentes é estritamente crescente. Temos
f(x)=\mathrm{e}^{\,\varphi(g(x))}=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{g(x)}},
portanto f é estritamente crescente em \mathbb{R}.
Uma função estritamente crescente é injetiva. Logo f é injetiva em todo \mathbb{R}.
(Obs.: o fato de derivada poder ser zero em pontos isolados não impede estrita monotonicidade; aqui a demonstração algébrica acima é clara e robusta.)

Passo 4

Determinar a imagem (contradomínio natural) de f: cálculo dos limites nas extremidades.
Calcule os limites:
  • Para x\to+\infty temos x^{3}\to+\infty, logo 3(x^{3}+1)\to+\infty. Então \mathrm{e}^{3(x^{3}+1)}\to+\infty e por fim
f(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{3(x^{3}+1)}}\to+\infty.
  • Para x\to-\infty temos x^{3}\to-\infty, então 3(x^{3}+1)\to-\infty. Assim \mathrm{e}^{3(x^{3}+1)}\to 0^{+} (tende a zero pela direita) e, finalmente,
f(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{3(x^{3}+1)}}\to \mathrm{e}^{0}=1.
Como f é contínua e estritamente crescente em \mathbb{R}, a imagem é o intervalo aberto que vai do limite inferior (não alcançado) até +\infty. Note que f(x)>1 para todo x (porque \mathrm{e}^{3(x^{3}+1)}>0 implica \mathrm{e}^{\mathrm{e}^{3(x^{3}+1)}}> \mathrm{e}^{0}=1), e não existe x tal que f(x)=1. Portanto a imagem é
(1,\infty).

Passo 5

Concluir sobre bijetividade e especificar domínio e contradomínio que tornam f bijetora.
  • Como f é definida em todo \mathbb{R} e é injetiva, e sua imagem é o intervalo (1,\infty), então tomada como função
f:\mathbb{R}\to (1,\infty)
ela é bijetora (injetiva e sobrejetiva sobre (1,\infty)).

Passo 6

Encontrar a inversa analítica f^{-1}: resolver y=f(x) para x.
Comece por escrever y=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{3(x^{3}+1)}}. Para inverter, aplicamos logaritmos na ordem inversa da composição, lembrando das restrições de domínio dos logaritmos.
Passo a passo:
y=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{3(x^{3}+1)}}
aplique \ln em ambos os lados (válido somente se y>0; aqui consideramos y\in(1,\infty)):
\ln y=\mathrm{e}^{3(x^{3}+1)}.
Agora aplique \ln novamente. Para que \ln(\ln y) exista precisamos de \ln y>0, isto é y>1, condição já satisfeita no contradomínio escolhido:
\ln\ln y=3(x^{3}+1).
Isolando x^{3}:
x^{3}=\frac{1}{3}\ln\ln y -1.
Finalmente, aplicando a raiz cúbica:
x=\sqrt[3]{\frac{1}{3}\ln\ln y -1}.
Portanto a inversa é
f^{-1}(y)=\sqrt[3]{\frac{1}{3}\ln\ln y -1}, \qquad y\in(1,\infty).

Passo 7

Verificação rápida (sem cálculos longos): compor f com f^{-1} devolve y sempre que as operações de log e expo respectem os domínios, o que ocorre para y\in(1,\infty). Assim a expressão encontrada é a inversa correta.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Contradomínio para bijetividade: (1,\infty)
f^{-1}(y)=\sqrt[3]{\dfrac{1}{3}\ln\ln y -1} (definida para y\in(1,\infty))

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