Para cada função abaixo, determine o domínio máximo e o contradomínio para que ela seja bijetora. Neste caso, encontre uma expressão analítica para
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- determinar o domínio máximo (conjunto de
) e o contradomínio que tornam bijetora; - encontrar uma expressão analítica para a inversa
.
Informações relevantes do enunciado:
- a função envolve potências e a função exponencial
; - não foram dadas restrições explícitas sobre
.
Passo 2
Determinar o domínio natural da função (onde a expressão faz sentido).
A expressão
está definida para todo
. A função exponencial
está definida para todo
. Como
é composta de polinômio e exponenciais, não há singularidades ou divisões por zero a impedir definição.
Logo o domínio natural (e candidato a domínio máximo) é
Passo 3
Verificar injetividade (idéia: mostrar que
é estritamente monotônica).
Para examinar monotonicidade, observe a composição em etapas. Defina
Mostra-se que
é estritamente crescente: se
então
pois
e
. Multiplicar por
e somar
não altera essa ordem, então
é estritamente crescente em
.
A função
é estritamente crescente em
. A composição de funções estritamente crescentes é estritamente crescente. Temos
portanto
é estritamente crescente em
.
Uma função estritamente crescente é injetiva. Logo
é injetiva em todo
.
(Obs.: o fato de derivada poder ser zero em pontos isolados não impede estrita monotonicidade; aqui a demonstração algébrica acima é clara e robusta.)
Passo 4
Determinar a imagem (contradomínio natural) de
: cálculo dos limites nas extremidades.
Calcule os limites:
- Para
temos , logo . Então e por fim
- Para
temos , então . Assim (tende a zero pela direita) e, finalmente,
Como
é contínua e estritamente crescente em
, a imagem é o intervalo aberto que vai do limite inferior (não alcançado) até
. Note que
para todo
(porque
implica
), e não existe
tal que
. Portanto a imagem é
Passo 5
Concluir sobre bijetividade e especificar domínio e contradomínio que tornam
bijetora.
- Como
é definida em todo e é injetiva, e sua imagem é o intervalo , então tomada como função
ela é bijetora (injetiva e sobrejetiva sobre
).
Passo 6
Encontrar a inversa analítica
: resolver
para
.
Comece por escrever
. Para inverter, aplicamos logaritmos na ordem inversa da composição, lembrando das restrições de domínio dos logaritmos.
Passo a passo:
aplique
em ambos os lados (válido somente se
; aqui consideramos
):
Agora aplique
novamente. Para que
exista precisamos de
, isto é
, condição já satisfeita no contradomínio escolhido:
Isolando
:
Finalmente, aplicando a raiz cúbica:
Portanto a inversa é
Passo 7
Verificação rápida (sem cálculos longos): compor
com
devolve
sempre que as operações de log e expo respectem os domínios, o que ocorre para
. Assim a expressão encontrada é a inversa correta.
Resposta
Domínio:
Contradomínio para bijetividade:
(definida para
)
Contradomínio para bijetividade: