Esboce o gráfico de
.
Passo 1
O que o enunciado pede: esboçar o gráfico da função
.
Informações dadas e o que vamos usar:
- A função é dada explicitamente por
. - Precisamos saber domínio, imagem, comportamento para
, pontos importantes (interseções com eixos), simetria, monotonicidade e concavidade — tudo isso ajuda a desenhar o esboço correto.
Passo 2
Reescrever a função de forma mais prática para trabalhar: separar os ramos à direita e à esquerda de zero usando a definição de valor absoluto. Lembre:
Aplicando isso em
Portanto, para (f(x)=-|x|^{5}] temos o expressão em ramos
]
Passo 3
Domínio e interseções:
- Domínio: todos os reais, isto é
. - Interseção com o eixo
: . Logo o ponto está no gráfico. - Interseção com eixo
: é o mesmo ponto, porque só quando .
Passo 4
Simetria e sinal:
- Como
, a função é par (simétrica em relação ao eixo ). - Para qualquer
, então . Logo para todo , com máximo global em cujo valor é .
Passo 5
Comportamento extremo (limites quando
cresce):
- Para
, no ramo vale e portanto
- Para
, no ramo vale e, como quando ,
Assim, ambas as extremidades do gráfico descem para menos infinito, simetricamente.
Passo 6
Derivadas, monotonicidade e forma local — isso ajuda a desenhar a curva:
Calcule a derivada em cada ramo.
Calcule a derivada em cada ramo.
- Para
, então
Como
para
, segue
para todo
: a função é estritamente decrescente em
.
- Para
, então
Aqui também
, então
para todo
: a função é estritamente crescente em
.
- Em
as derivadas laterais valem
portanto
. Assim,
é um ponto crítico (máximo local — de fato máximo global).
Interpretação simples: à esquerda de zero a curva sobe até o ponto
; à direita de zero ela desce. O pico é suave (tangente horizontal) porque
.
Passo 7
Concavidade e curvatura:
Calcule a segunda derivada em cada ramo.
Calcule a segunda derivada em cada ramo.
- Para
, . Como para , resulta — concavidade para baixo à direita. - Para
, . Para tem então também — concavidade para baixo à esquerda.
Conclusão: para todoa função é côncava para baixo. Em as derivadas de ordens baixas também são zero até certa ordem, daí a curva tem um topo arredondado mas sem mudança de concavidade. Não existe ponto de inflexão em .
Passo 8
Como montar o esboço (passo a passo prático para desenhar na prova):
- Marque o ponto
. Esse é o máximo global e a tangente aí é horizontal. - Desenhe a simetria: o gráfico à esquerda de
é espelho do da direita. - Para
trace uma curva que sai do ponto com inclinação zero e vai descendo cada vez mais rápido, aproximando-se de quando cresce (formato similar ao de ). - Para
trace a imagem espelhada: a curva sobe vindo de quando , sobe até com inclinação zero (formato similar ao de no lado negativo). - Lembre-se que para valores pequenos de
a curva é bem “achatada” perto de zero (porque potências altas têm crescimento lento perto de zero) e para maiores a descida pra é muito rápida (potência 5 domina).
Passo 9
Resumo das propriedades que definem o esboço (úteis para checar):
- Domínio:
. - Imagem:
. - Simetria: função par (simétrica em relação ao eixo
). - Máximo global:
. - Monotonicidade: crescente em
, decrescente em . - Concavidade: côncava para baixo em todos os pontos
. - Limites:
.
Resposta
O gráfico de
é uma curva par (simétrica em relação ao eixo
), com máximo global em
(tangente horizontal), valores sempre não positivos
, que cresce para
quando
vem da esquerda e decresce a partir de
para a direita; as duas extremidades vão para
quando
.