Esboce o gráfico de f(x)=-|x|^{5}.

Passo 1

O que o enunciado pede: esboçar o gráfico da função f(x)=-|x|^{5}.
Informações dadas e o que vamos usar:
  • A função é dada explicitamente por f(x)=-|x|^{5}.
  • Precisamos saber domínio, imagem, comportamento para x\to\pm\infty, pontos importantes (interseções com eixos), simetria, monotonicidade e concavidade — tudo isso ajuda a desenhar o esboço correto.

Passo 2

Reescrever a função de forma mais prática para trabalhar: separar os ramos à direita e à esquerda de zero usando a definição de valor absoluto. Lembre:
|x|= \begin{cases} x,& x\ge 0,\\[4pt] -x,& x<0. \end{cases}
Aplicando isso em |x|^{5}\) obtemos \[|x|^{5}= \begin{cases} x^{5},& x\ge 0,\\[4pt] (-x)^{5}=-x^{5},& x<0. \end{cases}
Portanto, para (f(x)=-|x|^{5}] temos o expressão em ramos
f(x)= \begin{cases} -x^{5},& x\ge 0,\\[4pt] x^{5},& x<0. \end{cases}]

Passo 3

Domínio e interseções:
  • Domínio: todos os reais, isto é \mathbb{R}.
  • Interseção com o eixo y: f(0)=-|0|^{5}=0. Logo o ponto (0,0) está no gráfico.
  • Interseção com eixo x: é o mesmo ponto, porque f(x)=0 só quando |x|^{5}=0\Rightarrow x=0.

Passo 4

Simetria e sinal:
  • Como f(-x)=-| -x|^{5}=-|x|^{5}=f(x), a função é par (simétrica em relação ao eixo y).
  • Para qualquer x\ne 0, |x|^{5}>0 então f(x)=-|x|^{5}<0. Logo f(x)\le 0 para todo x, com máximo global em x=0 cujo valor é 0.

Passo 5

Comportamento extremo (limites quando |x| cresce):
  • Para x\to+\infty, no ramo x\ge 0 vale f(x)=-x^{5} e portanto
\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.
  • Para x\to-\infty, no ramo x<0 vale f(x)=x^{5} e, como x^{5}\to -\infty quando x\to -\infty,
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
Assim, ambas as extremidades do gráfico descem para menos infinito, simetricamente.

Passo 6

Derivadas, monotonicidade e forma local — isso ajuda a desenhar a curva:
Calcule a derivada em cada ramo.
  • Para x>0, f(x)=-x^{5} então
f'(x)=-5x^{4}\quad\text{(para \(x>0\)).}
Como x^{4}>0 para x\ne 0, segue f'(x)<0 para todo x>0: a função é estritamente decrescente em (0,+\infty).
  • Para x<0, f(x)=x^{5} então
f'(x)=5x^{4}\quad\text{(para \(x<0\)).}
Aqui também x^{4}>0, então f'(x)>0 para todo x<0: a função é estritamente crescente em (-\infty,0).
  • Em x=0 as derivadas laterais valem
\lim_{x\to0^+}f'(x)=\lim_{x\to0^+}(-5x^{4})=0,\qquad \lim_{x\to0^-}f'(x)=\lim_{x\to0^-}(5x^{4})=0,
portanto f'(0)=0. Assim, x=0 é um ponto crítico (máximo local — de fato máximo global).
Interpretação simples: à esquerda de zero a curva sobe até o ponto (0,0); à direita de zero ela desce. O pico é suave (tangente horizontal) porque f'(0)=0.

Passo 7

Concavidade e curvatura:
Calcule a segunda derivada em cada ramo.
  • Para x>0, f''(x)=-20x^{3}. Como x^{3}>0 para x>0, resulta f''(x)<0 — concavidade para baixo à direita.
  • Para x<0, f''(x)=20x^{3}. Para x<0 tem x^{3}<0 então f''(x)<0 também — concavidade para baixo à esquerda.
    Conclusão: para todo x\ne 0 a função é côncava para baixo. Em 0 as derivadas de ordens baixas também são zero até certa ordem, daí a curva tem um topo arredondado mas sem mudança de concavidade. Não existe ponto de inflexão em x\ne0.

Passo 8

Como montar o esboço (passo a passo prático para desenhar na prova):
  1. Marque o ponto (0,0). Esse é o máximo global e a tangente aí é horizontal.
  2. Desenhe a simetria: o gráfico à esquerda de y é espelho do da direita.
  3. Para x>0 trace uma curva que sai do ponto (0,0) com inclinação zero e vai descendo cada vez mais rápido, aproximando-se de -\infty quando x cresce (formato similar ao de -x^{5}).
  4. Para x<0 trace a imagem espelhada: a curva sobe vindo de -\infty quando x\to -\infty, sobe até (0,0) com inclinação zero (formato similar ao de x^{5} no lado negativo).
  5. Lembre-se que para valores pequenos de |x| a curva é bem “achatada” perto de zero (porque potências altas têm crescimento lento perto de zero) e para |x| maiores a descida pra -\infty é muito rápida (potência 5 domina).

Passo 9

Resumo das propriedades que definem o esboço (úteis para checar):
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Imagem: (-\infty,0].
  • Simetria: função par (simétrica em relação ao eixo y).
  • Máximo global: f(0)=0.
  • Monotonicidade: crescente em (-\infty,0), decrescente em (0,+\infty).
  • Concavidade: côncava para baixo em todos os pontos x\ne 0.
  • Limites: \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-\infty.

Resposta

O gráfico de f(x)=-|x|^{5} é uma curva par (simétrica em relação ao eixo y), com máximo global em (0,0) (tangente horizontal), valores sempre não positivos \big(f(x)\le 0\big), que cresce para 0 quando x vem da esquerda e decresce a partir de 0 para a direita; as duas extremidades vão para -\infty quando x\to\pm\infty.

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