Para as seguintes funções h(x), decomponha-a como compostas de funções mais simples
h(x)=2+\frac{1}{\ln \left(2+\frac{1}{x}\right)}

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=2+\frac{1}{\ln\!\left(2+\frac{1}{x}\right)} e pede que a decomponhamos como composta de funções mais simples.
Informações dadas:
  • A expressão completa de h(x) está acima.
  • Não há imagens nem outros dados numéricos.
    O que é pedido: escrever h como composição de funções elementares (por exemplo: soma, inverso, logaritmo) — isto é, identificar funções mais simples f,g,\dots tais que h seja uma composição delas.

Passo 2

O que significa decompor em funções compostas (explicação didática):
  • Uma função H é composta de G e F se H = G\circ F, isto é, H(x)=G\big(F(x)\big).
  • Para decompor uma expressão complexa, localiza-se a operação exterior (a última feita ao calcular h(x)) e a operação interior (o que está por dentro) e define-se funções correspondentes.
    Exemplo rápido e simples: se H(x)=\sqrt{1+x^2}, uma decomposição é F(x)=1+x^2 e G(t)=\sqrt{t}, logo H=G\circ F.

Passo 3

Identificando as camadas em h(x)=2+\frac{1}{\ln\!\left(2+\frac{1}{x}\right)}:
  • A operação mais externa é somar 2.
  • Antes disso temos uma divisão por \ln(\cdot), ou seja, 1/\ln(\cdot).
  • A função dentro do \ln é 2+\dfrac{1}{x}.
  • A parte mais interna é 1/x.
    Portanto podemos construir uma cadeia de funções indo do interior para o exterior: x \mapsto 1/x \mapsto 2+(\cdot) \mapsto \ln(\cdot) \mapsto 1/(\cdot) \mapsto 2+(\cdot).

Passo 4

Decomposição detalhada em funções muito simples (uma definição por etapa):
\begin{aligned} f_1(x) &= x,\\[4pt] f_2(u) &= \frac{1}{u},\\[4pt] f_3(v) &= 2+v,\\[4pt] f_4(w) &= \ln(w),\\[4pt] f_5(z) &= \frac{1}{z},\\[4pt] f_6(y) &= 2+y. \end{aligned}
Aqui a interpretação é: aplicar f_1 x; em seguida f_2 1/x; em seguida f_3 2+1/x; f_4 aplica o logaritmo; f_5 toma o inverso; f_6 soma 2. Assim, em notação de composição:
h = f_6\circ f_5\circ f_4\circ f_3\circ f_2\circ f_1.]

Passo 5

Verificação passo a passo (montando a expressão de volta):
  • f_2(f_1(x)) = f_2(x)=1/x.
  • f_3\big(f_2(f_1(x))\big) = 2+\dfrac{1}{x}.
  • f_4\big(f_3(f_2(f_1(x)))\big) = \ln\!\left(2+\dfrac{1}{x}\right).
  • f_5\big(f_4(\cdot)\big) = \dfrac{1}{\ln\!\left(2+\dfrac{1}{x}\right)}.
  • f_6\big(f_5(\cdot)\big) = 2+\dfrac{1}{\ln\!\left(2+\dfrac{1}{x}\right)}, que é exatamente h(x).
    Isso confirma que a composição retorna h.

Passo 6

Decomposição mais condensada (menos etapas, ainda elementar) — útil para provas quando se quer menos notação: defina
u(x)=2+\frac{1}{x},\qquad v(t)=\ln t,\qquad w(s)=2+\frac{1}{s}.
Então, em notação de composição,
h = w\circ v\circ u,
porque u(x)=2+\dfrac{1}{x}, v(u(x))=\ln\!\left(2+\dfrac{1}{x}\right) e w(v(u(x)))=2+\dfrac{1}{\ln\!\left(2+\dfrac{1}{x}\right)}.
Esta forma com três funções é frequentemente a mais prática: uma função interna u, uma função intermediária v (log), e a função externa w.

Passo 7

Observação importante sobre domínio (para saber onde a composição faz sentido):
  • Primeiro, x não pode ser 0 por causa de 1/x. Então x\neq0.
  • O argumento do logaritmo deve ser positivo: 2+\dfrac{1}{x}>0. Isso é equivalente a \dfrac{2x+1}{x}>0. Resolvendo a desigualdade obtemos
x\in(-\infty,-\tfrac{1}{2})\\ \cup\\ (0,\infty).
  • Além disso, não se pode ter \ln\!\left(2+\dfrac{1}{x}\right)=0 porque isso colocaria 1/\ln(\cdot) com denominador zero; \ln(\cdot)=0 acontece quando 2+\dfrac{1}{x}=1, isto é \dfrac{1}{x}=-1 ou x=-1. Portanto deve-se excluir x=-1.
    Juntando: o domínio de h é
(-\infty,-\tfrac{1}{2})\setminus\{-1\}\\ \cup\\ (0,\infty).
(Tudo isso é útil para a prova: ao decompor, verifique sempre se cada etapa está bem definida no domínio.)

Passo 8

Dicas rápidas para fazer isso na prova (tom na voz de amigo):
  • Identifica a operação mais externa (a última que se faz ao avaliar). Isso te dá a função externa.
  • Repete a identificação recursivamente para o interior.
  • Se quiser menos peças, agrupe operações que formam uma expressão natural (por ex. 2+1/x como uma única função interna).
  • Sempre anota o domínio — normalmente esquece-se e cai em erro.

Resposta

Decomposição em 6 funções:
\begin{aligned} f_1(x)&=x,\quad f_2(u)=\dfrac{1}{u},\quad f_3(v)=2+v,\\[4pt] f_4(w)&=\ln w,\quad f_5(z)=\dfrac{1}{z},\quad f_6(y)=2+y, \end{aligned}
com
h=f_6\circ f_5\circ f_4\circ f_3\circ f_2\circ f_1.
Decomposição mais compacta (3 funções):
u(x)=2+\dfrac{1}{x},\qquad v(t)=\ln t,\qquad w(s)=2+\dfrac{1}{s},
com
h=w\circ v\circ u.]

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