Para as seguintes funções
, decomponha-a como compostas de funções mais simples
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que a decomponhamos como composta de funções mais simples.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão completa de
está acima. - Não há imagens nem outros dados numéricos.
O que é pedido: escrevercomo composição de funções elementares (por exemplo: soma, inverso, logaritmo) — isto é, identificar funções mais simples tais que seja uma composição delas.
Passo 2
O que significa decompor em funções compostas (explicação didática):
- Uma função
é composta de e se , isto é, . - Para decompor uma expressão complexa, localiza-se a operação exterior (a última feita ao calcular
) e a operação interior (o que está por dentro) e define-se funções correspondentes.
Exemplo rápido e simples: se, uma decomposição é e , logo .
Passo 3
Identificando as camadas em
:
- A operação mais externa é somar
. - Antes disso temos uma divisão por
, ou seja, . - A função dentro do
é . - A parte mais interna é
.
Portanto podemos construir uma cadeia de funções indo do interior para o exterior:.
Passo 4
Decomposição detalhada em funções muito simples (uma definição por etapa):
Aqui a interpretação é: aplicar
dá
; em seguida
dá
; em seguida
dá
;
aplica o logaritmo;
toma o inverso;
soma
. Assim, em notação de composição:
Passo 5
Verificação passo a passo (montando a expressão de volta):
-
. -
. -
. -
. -
, que é exatamente .
Isso confirma que a composição retorna.
Passo 6
Decomposição mais condensada (menos etapas, ainda elementar) — útil para provas quando se quer menos notação: defina
Então, em notação de composição,
porque
,
e
.
Esta forma com três funções é frequentemente a mais prática: uma função interna , uma função intermediária
(log), e a função externa
.
Esta forma com três funções é frequentemente a mais prática: uma função interna
Passo 7
Observação importante sobre domínio (para saber onde a composição faz sentido):
- Primeiro,
não pode ser por causa de . Então . - O argumento do logaritmo deve ser positivo:
. Isso é equivalente a . Resolvendo a desigualdade obtemos
- Além disso, não se pode ter
porque isso colocaria com denominador zero; acontece quando , isto é ou . Portanto deve-se excluir .
Juntando: o domínio deé
(Tudo isso é útil para a prova: ao decompor, verifique sempre se cada etapa está bem definida no domínio.)
Passo 8
Dicas rápidas para fazer isso na prova (tom na voz de amigo):
- Identifica a operação mais externa (a última que se faz ao avaliar). Isso te dá a função externa.
- Repete a identificação recursivamente para o interior.
- Se quiser menos peças, agrupe operações que formam uma expressão natural (por ex.
como uma única função interna). - Sempre anota o domínio — normalmente esquece-se e cai em erro.
Resposta
Decomposição em 6 funções:
com
Decomposição mais compacta (3 funções):
com