Para as seguintes funções h(x), decomponha-a como compostas de funções mais simples
h(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{3\left(x^{3}+1\right)}}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado. O enunciado pede que se decomponha a função
h(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{3\left(x^{3}+1\right)}}.
Ou seja, quer-se escrever h como composição de funções mais simples (funções internas aninhadas). A única informação dada é a própria expressão de h(x).

Passo 2

O que significa “decompor como compostas de funções mais simples”. Se f e g são funções, a composição f\circ g é a função
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
Decompor uma função complexa significa escrever h como uma composição de várias funções simples f_1,f_2,\dots tal que
h=(f_n\circ f_{n-1}\circ\cdots\circ f_1).
Vou escolher passos internos da expressão e definir cada função simples seguindo a ordem de dentro para fora.

Passo 3

Identificar a parte mais interna. Na expressão \mathrm{e}^{\mathrm{e}^{3\left(x^{3}+1\right)}} a parte mais interna é x^3. Defino a primeira função simples:
f_1(x)=x^3.
Explicação: f_1 pega x e eleva ao cubo — é a operação mais interna que aparece.

Passo 4

O próximo passo no aninhamento é somar 1. Defino:
f_2(x)=x+1.
Aplicando f_2 após f_1 obtemos f_2(f_1(x))=x^3+1.

Passo 5

Em seguida multiplicamos por 3. Defino:
f_3(x)=3x.
Aplicando f_3 após f_2\circ f_1 obtemos f_3(f_2(f_1(x)))=3(x^3+1).

Passo 6

Agora vem a primeira exponencial interna \mathrm{e}^{\cdot}. Defino:
f_4(x)=\mathrm{e}^{x}.
Aplicando f_4 após as anteriores dá f_4(f_3(f_2(f_1(x))))=\mathrm{e}^{3(x^3+1)}.

Passo 7

Por fim há a exponencial exterior, a mesma forma de função exponencial. Defino:
f_5(x)=\mathrm{e}^{x}.
Aplicando f_5 por último obtemos a função original:
f_5\bigl(f_4(f_3(f_2(f_1(x))))\bigr)=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{3(x^3+1)}}=h(x).

Passo 8

Resumo da decomposição e observações práticas. As funções simples escolhidas foram
f_1(x)=x^3,\qquad f_2(x)=x+1,\qquad f_3(x)=3x,\qquad f_4(x)=\mathrm{e}^{x},\qquad f_5(x)=\mathrm{e}^{x}.
A composição fica
h=(f_5\circ f_4\circ f_3\circ f_2\circ f_1).
Observação útil para prova: essa decomposição é a que se usa quando se aplica, por exemplo, a regra da cadeia para derivadas — cada etapa corresponde a uma derivada simples que depois se multiplica.

Passo 9

Exemplo rápido de uso (opcional, para fixar): calcular a derivada usando essa decomposição. As derivadas das funções simples são
f_1'(x)=3x^2,\quad f_2'(x)=1,\quad f_3'(x)=3,\quad f_4'(x)=\mathrm{e}^{x},\quad f_5'(x)=\mathrm{e}^{x}.
Pela regra da cadeia para composições em cadeia:
h'(x)=f_5'\bigl(f_4\circ f_3\circ f_2\circ f_1(x)\bigr)\cdot f_4'\bigl(f_3\circ f_2\circ f_1(x)\bigr)\cdot f_3'\bigl(f_2\circ f_1(x)\bigr)\cdot f_2'\bigl(f_1(x)\bigr)\cdot f_1'(x).
Substituindo e simplificando obtém-se a forma prática
h'(x)=9x^2\,\mathrm{e}^{3(x^3+1)}\,\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{3(x^3+1)}}.
Isso mostra por que a decomposição é útil: facilita computar derivadas etapa a etapa.

Resposta

f_1(x)=x^3
f_2(x)=x+1
f_3(x)=3x
f_4(x)=\mathrm{e}^{x}
f_5(x)=\mathrm{e}^{x}
h(x)=(f_5\circ f_4\circ f_3\circ f_2\circ f_1)(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{3\left(x^{3}+1\right)}}.

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