Para as seguintes funções
, decomponha-a como compostas de funções mais simples
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado. O enunciado pede que se decomponha a função
Ou seja, quer-se escrever
como composição de funções mais simples (funções internas aninhadas). A única informação dada é a própria expressão de
.
Passo 2
O que significa “decompor como compostas de funções mais simples”. Se
e
são funções, a composição
é a função
Decompor uma função complexa significa escrever
como uma composição de várias funções simples
tal que
Vou escolher passos internos da expressão e definir cada função simples seguindo a ordem de dentro para fora.
Passo 3
Identificar a parte mais interna. Na expressão
a parte mais interna é
. Defino a primeira função simples:
Explicação:
pega
e eleva ao cubo — é a operação mais interna que aparece.
Passo 4
O próximo passo no aninhamento é somar
. Defino:
Aplicando
após
obtemos
.
Passo 5
Em seguida multiplicamos por
. Defino:
Aplicando
após
obtemos
.
Passo 6
Agora vem a primeira exponencial interna
. Defino:
Aplicando
após as anteriores dá
.
Passo 7
Por fim há a exponencial exterior, a mesma forma de função exponencial. Defino:
Aplicando
por último obtemos a função original:
Passo 8
Resumo da decomposição e observações práticas. As funções simples escolhidas foram
A composição fica
Observação útil para prova: essa decomposição é a que se usa quando se aplica, por exemplo, a regra da cadeia para derivadas — cada etapa corresponde a uma derivada simples que depois se multiplica.
Passo 9
Exemplo rápido de uso (opcional, para fixar): calcular a derivada usando essa decomposição. As derivadas das funções simples são
Pela regra da cadeia para composições em cadeia:
Substituindo e simplificando obtém-se a forma prática
Isso mostra por que a decomposição é útil: facilita computar derivadas etapa a etapa.