- Ex. Uma placa plana de aluminio (
) de resistência térmica desprezivel possui 74 aletas retangulares com
de espessura e 12 mm de altura, espaçadas entre si de 12 mm , ocupando toda a largura da placa. O lado com aletas está em contato com ar a
e coeficiente de convecção igual a
. Calcular.
a) À eficiéncia das aletas
b) O fluxo de calor pela placa aletada sabendo que no lado sem altas a temperatura é de
.
a) À eficiéncia das aletas
b) O fluxo de calor pela placa aletada sabendo que no lado sem altas a temperatura é de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular a eficiência das aletas (uma única aleta).
- (b) Calcular o fluxo de calor total que sai pelo lado aletado, sabendo que o lado sem aletas está a
e o ar a .
Dados fornecidos (eu peguei os valores direto do enunciado):
Observação importante (assunção necessária): interpretei "espaciadas entre si de
" como sendo a distância livre entre superfícies de aletas (gap), portanto o passo entre raízes das aletas é
. Essa interpretação faz sentido porque
(largura total ~
), número coerente com
aletas ocupando toda a largura. Se seu enunciado quisesse outra interpretação, o resultado muda, mas sigo essa aqui.
Passo 2
Qual é o modelo físico e as fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo como chegar nelas)?
Temos aletas retangulares de seção constante, espessura
e altura
. Para esse tipo de aleta, considerando por unidade de comprimento na direção perpendicular ao desenho (ou seja, tratamos a aleta “por unidade de profundidade” igual a
), definimos:
- Área de condução na secção da aleta (área transversal pela qual o calor conduz na aleta):
. - Perímetro para convecção (somando as duas faces finas que trocam calor por convecção):
.
Definimos o parâmetro
clássico das aletas de seção constante:
Aqui cada símbolo significa:
-
é o coeficiente convectivo, -
é o perímetro molhado (comprimento do contorno exposto ao fluido por unidade de profundidade), -
é a condutividade térmica da aleta, -
é a área da secção transversal condutora.
Para a eficiência da aleta (a razão entre o calor real extraído pela aleta e o calor que seria extraído se toda a aleta estivesse na temperatura da raiz), usamos a fórmula padrão para aletas de espessura constante com ponta que troca calor por convecção (usa-se o comprimento efetivo corrigido):
Explicando:
é o comprimento corrigido que leva em conta a perda pela ponta; a função
aparece da solução da equação diferencial unidimensional estacionária da temperatura na aleta.
O calor extraído por uma única aleta (taxa no regime estacionário) é dado por:
Essa fórmula é uma forma compacta derivada da solução completa — mostra que
é proporcional à diferença de temperatura da base e ao fator
que capta o efeito da finitude da aleta.
Além da contribuição das aletas, entre as aletas existe área exposta da placa (gap) que também troca calor por convecção; por cada passo
a área exposta (por unidade de profundidade) é
. O calor convectado por essa área (por passo) é simplesmente:
No total para toda a placa, multiplicamos por
, número de passos (assumimos
passos/aletas que cobrem a largura).
Passo 3
Calcular
e
com os números dados (fazendo todas as contas detalhadas):
Primeiro os valores de
e
:
Agora
Calcule passo a passo:
Comprimento corrigido:
Produto:
Passo 4
Calcular a eficiência da aleta
usando
.
Como
é pequeno (
),
também é pequeno; calculando numericamente:
Logo
Interpretando: a aleta é muito eficiente (
) porque é curta e o metal tem alta condutividade, então a temperatura ao longo da aleta não decai muito.
Passo 5
Calcular o calor extraído por uma única aleta
com a fórmula:
Primeiro o fator raiz:
Calcule:
Diferença de temperatura:
Então
Passo 6
Calcular o calor convectionado pela área entre aletas (por passo)
e o total:
Área do gap por passo (por unidade de profundidade):
Calor por passo:
Calcule:
Agora totalizando para
aletas/passos:
- Calor total das aletas:
- Calor total das áreas entre aletas:
Passo 7
Somar as contribuições para obter o fluxo total de calor que sai pelo lado aletado:
Arredondando de forma razoável,
.
Resposta
(a)
(ou
).
(b)
(b)