• Ex. Uma placa plana de aluminio ( \mathrm{K}=203 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ) de resistência térmica desprezivel possui 74 aletas retangulares com 1,5 \mathrm{~mm} de espessura e 12 mm de altura, espaçadas entre si de 12 mm , ocupando toda a largura da placa. O lado com aletas está em contato com ar a 40^{\circ} \mathrm{C} e coeficiente de convecção igual a 29 \mathrm{w} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Calcular.
    a) À eficiéncia das aletas
    b) O fluxo de calor pela placa aletada sabendo que no lado sem altas a temperatura é de 150^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular a eficiência das aletas (uma única aleta).
  • (b) Calcular o fluxo de calor total que sai pelo lado aletado, sabendo que o lado sem aletas está a 150^\circ\mathrm{C} e o ar a 40^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos (eu peguei os valores direto do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Condutividade do alumínio: } k = 203\\ \mathrm{W/mK},\\\ &\text{Número de aletas: } N = 74,\\\ &\text{espessura da aleta: } t = 1{,}5\\ \mathrm{mm} = 0{,}0015\\ \mathrm{m},\\\ &\text{altura (extensão) da aleta: } L = 12\\ \mathrm{mm} = 0{,}012\\ \mathrm{m},\\\ &\text{espaçamento entre aletas (entre superfícies): } s_g = 12\\ \mathrm{mm} = 0{,}012\\ \mathrm{m},\\\ &\text{portanto o passo (pitch) } p = t + s_g = 0{,}0135\\ \mathrm{m},\\\ &\text{temperatura do ar: } T_\infty = 40^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{temperatura do lado sem aletas (base): } T_b = 150^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{coeficiente de convecção: } h = 29\\ \mathrm{W/m^2K}. \end{aligned}íúãçíçã
Observação importante (assunção necessária): interpretei "espaciadas entre si de 12\\ \mathrm{mm}" como sendo a distância livre entre superfícies de aletas (gap), portanto o passo entre raízes das aletas é p = t + s_g = 0{,}0135\\ \mathrm{m}. Essa interpretação faz sentido porque N\cdot p \approx 0{,}999\\ \mathrm{m} (largura total ~ 1{,}0\\ \mathrm{m}), número coerente com 74 aletas ocupando toda a largura. Se seu enunciado quisesse outra interpretação, o resultado muda, mas sigo essa aqui.

Passo 2

Qual é o modelo físico e as fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo como chegar nelas)?
Temos aletas retangulares de seção constante, espessura t e altura L. Para esse tipo de aleta, considerando por unidade de comprimento na direção perpendicular ao desenho (ou seja, tratamos a aleta “por unidade de profundidade” igual a 1\\ \mathrm{m}), definimos:
  • Área de condução na secção da aleta (área transversal pela qual o calor conduz na aleta): A_c = t \times 1 = t.
  • Perímetro para convecção (somando as duas faces finas que trocam calor por convecção): P = 2 \times 1 = 2.
Definimos o parâmetro m clássico das aletas de seção constante:
m = \sqrt{\dfrac{h P}{k A_c}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • h é o coeficiente convectivo,
  • P é o perímetro molhado (comprimento do contorno exposto ao fluido por unidade de profundidade),
  • k é a condutividade térmica da aleta,
  • A_c é a área da secção transversal condutora.
Para a eficiência da aleta (a razão entre o calor real extraído pela aleta e o calor que seria extraído se toda a aleta estivesse na temperatura da raiz), usamos a fórmula padrão para aletas de espessura constante com ponta que troca calor por convecção (usa-se o comprimento efetivo corrigido):
L_c = L + \dfrac{t}{2},
\eta_f = \dfrac{\operatorname{tanh}(m L_c)}{m L_c}.
Explicando: L_c é o comprimento corrigido que leva em conta a perda pela ponta; a função \operatorname{tanh} aparece da solução da equação diferencial unidimensional estacionária da temperatura na aleta.
O calor extraído por uma única aleta (taxa no regime estacionário) é dado por:
q_f = \sqrt{h P k A_c}\, (T_b - T_\infty)\, \operatorname{tanh}(m L_c).
Essa fórmula é uma forma compacta derivada da solução completa — mostra que q_f é proporcional à diferença de temperatura da base e ao fator \operatorname{tanh}(m L_c) que capta o efeito da finitude da aleta.
Além da contribuição das aletas, entre as aletas existe área exposta da placa (gap) que também troca calor por convecção; por cada passo p a área exposta (por unidade de profundidade) é A_{gap}=s_g. O calor convectado por essa área (por passo) é simplesmente:
q_{gap} = h\, A_{gap}\, (T_b - T_\infty).
No total para toda a placa, multiplicamos por N, número de passos (assumimos N=74 passos/aletas que cobrem a largura).

Passo 3

Calcular m e L_c com os números dados (fazendo todas as contas detalhadas):
Primeiro os valores de A_c e P:
A_c = t = 0{,}0015\\ \mathrm{m},\qquad P = 2.
Agora
m = \sqrt{\dfrac{h P}{k A_c}} = \sqrt{\dfrac{29\cdot 2}{203\cdot 0{,}0015}}.
Calcule passo a passo:
203\cdot 0{,}0015 = 0{,}3045,
29\cdot 2 = 58,
\dfrac{58}{0{,}3045} \approx 190{,}45,
m \approx \sqrt{190{,}45} \approx 13{,}80\\ \mathrm{m}^{-1}.
Comprimento corrigido:
L_c = L + \dfrac{t}{2} = 0{,}012 + \dfrac{0{,}0015}{2} = 0{,}01275\\ \mathrm{m}.
Produto:
m L_c \approx 13{,}80 \times 0{,}01275 \approx 0{,}1763.

Passo 4

Calcular a eficiência da aleta \eta_f usando \eta_f = \dfrac{\operatorname{tanh}(m L_c)}{m L_c}.
Como m L_c é pequeno ( \approx 0{,}1763), \operatorname{tanh}(m L_c) também é pequeno; calculando numericamente:
\operatorname{tanh}(0{,}1763) \approx 0{,}1746.
Logo
\eta_f = \dfrac{0{,}1746}{0{,}1763} \approx 0{,}990.
Interpretando: a aleta é muito eficiente ( \approx 99{,}0\%) porque é curta e o metal tem alta condutividade, então a temperatura ao longo da aleta não decai muito.

Passo 5

Calcular o calor extraído por uma única aleta q_f com a fórmula:
q_f = \sqrt{h P k A_c}\, (T_b - T_\infty)\, \operatorname{tanh}(m L_c).
Primeiro o fator raiz:
\sqrt{h P k A_c} = \sqrt{29\cdot 2 \cdot 203 \cdot 0{,}0015}.
Calcule:
203\cdot 0{,}0015 = 0{,}3045,
29\cdot 2 \cdot 0{,}3045 = 58\cdot 0{,}3045 = 17{,}661,
\sqrt{17{,}661} \approx 4{,}203\\ \mathrm{(unidade\\ W/K)}.
Diferença de temperatura:
T_b - T_\infty = 150 - 40 = 110\\ \mathrm{K}.
Então
q_f \approx 4{,}203 \times 110 \times 0{,}1746 \approx 80{,}8\\ \mathrm{W\\ por\\ aleta}.

Passo 6

Calcular o calor convectionado pela área entre aletas (por passo) q_{gap} e o total:
Área do gap por passo (por unidade de profundidade):
A_{gap} = s_g = 0{,}012\\ \mathrm{m}.
Calor por passo:
q_{gap} = h\, A_{gap}\, (T_b - T_\infty) = 29 \times 0{,}012 \times 110.
Calcule:
29\times 0{,}012 = 0{,}348,
q_{gap} = 0{,}348\times 110 = 38{,}28\\ \mathrm{W\\ por\\ passo}.
Agora totalizando para N = 74 aletas/passos:
  • Calor total das aletas:
Q_{fins} = N \times q_f \approx 74 \times 80{,}8 \approx 5{,}979\\ \mathrm{W}\approx 5{,}98\\ \mathrm{kW}.
  • Calor total das áreas entre aletas:
Q_{gaps} = N \times q_{gap} \approx 74 \times 38{,}28 \approx 2{,}833\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Somar as contribuições para obter o fluxo total de calor que sai pelo lado aletado:
Q_{total} = Q_{fins} + Q_{gaps} \approx 5{,}979\\ \mathrm{W} + 2{,}833\\ \mathrm{W} = 8{,}812\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma razoável, Q_{total}\approx 8{,}81\\ \mathrm{kW}.

Resposta

(a) \eta_f \approx 0{,}990 (ou 99{,}0\%).
(b) Q_{total} \approx 8{,}81\times 10^{3}\\ \mathrm{W}

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