Para cada função abaixo determine, se existirem, as assíntotas verticais e as assíntotas horizontais. Quando existirem, além dos cálculos, faça esboço gráfico ilustrando o comportamento e, quando não, justifique com os cálculos.
f(x)=2 x^2+4 xx^2-x-6

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x)=2x^2+4xx^2-x-6,
as assíntotas verticais e horizontais (se existirem), justificando por limites, e ainda um esboço do gráfico para ilustrar o comportamento junto às assíntotas.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio e fatoramos numerador e denominador:
2x^2+4x = 2x(x+2), x^2-x-6 = (x-3)(x+2)
Logo, para xneq -2 e xneq 3,
f(x)=2x(x+2)(x-3)(x+2)=2xx-3
O fator x+2 cancela, indicando uma descontinuidade removível em x=-2, e x=3 continua como possível assíntota vertical.

Passo 3

Para achar as assíntotas verticais estudamos onde o denominador não cancelado zera e o limite diverge. Em x=3:
limxto3^-f(x)=limxto3^-2xx-3=-infty, limxto3^+f(x)=+infty
Portanto x=3 é assíntota vertical.
Em x=-2 ocorre cancelamento e o limite existe e é finito:
limxto-2f(x)=limxto-22xx-3 =2,( -2)-2-3=-4-5=45,
logo não há assíntota vertical em x=-2, mas sim um “furo” em l(-2,tfrac45r).

Passo 4

Para a assíntota horizontal calculamos
limxto+inftyf(x) =limxto+infty2xx-3 =limxto+infty21-3/x=2,
limxto-inftyf(x) =limxto-infty21-3/x=2
Como nos dois casos o limite é 2, temos a assíntota horizontal y=2.

Passo 5

Resumo dos resultados:
– Descontinuidade removível (furo) em x=-2, com valor limite tfrac45.
– Assíntota vertical em x=3.
– Assíntota horizontal em y=2.

Passo 6

Esboço aproximado do gráfico (eixo horizontal, eixo vertical):
      y
      \uparrow
  \(+\infty\)  |              . . . ramo para x>\(3\)
      |             /
      |            /
  \(2\) --\(\cdot\)- - - - - -/- - - -  assíntota y\(=2\)
      |          /
      |         /
      |        /   ramo para x<\(3\)
      |       /
  \(0\) --\(\cdot\)-----\(\cdot\)/------------- x
      |    /\(\cdot\)  \leftarrow\ furo em (-\(2,4\)/\(5\))
      |   /
      |  /
 -\(+\infty\)   | /
      |/  x\(=3\) (assíntota vertical)
      \(+\)--------------------\(\to\) x
          -\(23\)
Em palavras: há dois ramos de hipérbole da curva , um para (tendendo a quando e a quando ) e outro para (tendendo a quando e a quando ). Marca-se também o furo em .

Resposta

Assíntota vertical: x=3.
Assíntota horizontal: y=2.
Descontinuidade removível (furo) em x=-2, sem assíntota ali.

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