Para cada função abaixo determine, se existirem, as assíntotas verticais e as assíntotas horizontais. Quando existirem, além dos cálculos, faça esboço gráfico ilustrando o comportamento e, quando não, justifique com os cálculos.
Passo 1
O enunciado pede, para a função
as assíntotas verticais e horizontais (se existirem), justificando por limites, e ainda um esboço do gráfico para ilustrar o comportamento junto às assíntotas.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio e fatoramos numerador e denominador:
Logo, para
e
,
O fator
cancela, indicando uma descontinuidade removível em
, e
continua como possível assíntota vertical.
Passo 3
Para achar as assíntotas verticais estudamos onde o denominador não cancelado zera e o limite diverge. Em
:
Portanto
é assíntota vertical.
Em ocorre cancelamento e o limite existe e é finito:
Em
logo não há assíntota vertical em
, mas sim um “furo” em
.
Passo 4
Para a assíntota horizontal calculamos
Como nos dois casos o limite é
, temos a assíntota horizontal
.
Passo 5
Resumo dos resultados:
– Descontinuidade removível (furo) em , com valor limite
.
– Assíntota vertical em .
– Assíntota horizontal em .
– Descontinuidade removível (furo) em
– Assíntota vertical em
– Assíntota horizontal em
Passo 6
Esboço aproximado do gráfico (eixo
horizontal, eixo
vertical):
y
\uparrow
\(+\infty\) | . . . ramo para x>\(3\)
| /
| /
\(2\) --\(\cdot\)- - - - - -/- - - - assíntota y\(=2\)
| /
| /
| / ramo para x<\(3\)
| /
\(0\) --\(\cdot\)-----\(\cdot\)/------------- x
| /\(\cdot\) \leftarrow\ furo em (-\(2,4\)/\(5\))
| /
| /
-\(+\infty\) | /
|/ x\(=3\) (assíntota vertical)
\(+\)--------------------\(\to\) x
-\(23\)
Em palavras: há dois ramos de hipérbole da curva
, um para
(tendendo a
quando
e a
quando
) e outro para
(tendendo a
quando
e a
quando
). Marca-se também o furo em
.
Resposta
Assíntota vertical:
.
Assíntota horizontal: .
Descontinuidade removível (furo) em , sem assíntota ali.
Assíntota horizontal:
Descontinuidade removível (furo) em