Questão 2 (3.0 pts.) Calcule as integrais abaixo:
integralW(x^2+y^2+z)^2 d V, W:cx^2+y^2 <= 1 0 <= z <= 1

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integralW(x^2+y^2+z)^2,dV,
onde W é o cilindro com base x^2+y^2<=1 e altura 0<= z<=1. Vamos usar coordenadas cilíndricas para simplificar a região e o elemento de volume.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z,
com Jacobiano r. A região W vira
0<= r<=1, 0<=theta<=2pi, 0<= z<=1,
e a integranda fica (r^2+z)^2.

Passo 3

O integral triplo em cilíndricas é
integral0^2pi!integral0^1!integral0^1(r^2+z)^2,r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em z:
integral0^1(r^2+z)^2dz =integral0^1l(r^4+2r^2z+z^2r)dz =r^4+r^2+tfrac13

Passo 5

Substituindo,
integral0^2pidthetaintegral0^1(r^4+r^2+tfrac13),r,dr =2piintegral0^1l(r^5+r^3+tfracr3r)dr

Passo 6

Agora integramos em r:
integral0^1(r^5+r^3+tfracr3)dr =tfrac16+tfrac14+tfrac16 =tfrac712
Multiplicando por 2pi obtemos
2picdottfrac712 = tfrac7pi6

Resposta

7pi6

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