Para cada função abaixo determine, se existirem, as assíntotas verticais e as assíntotas horizontais. Quando existirem, além dos cálculos, faça esboço gráfico ilustrando o comportamento e, quando não, justifique com os cálculos.
f(x)=x^3-1x^2-2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=x^3-1x^2-2x+1
determinar as assíntotas verticais e as assíntotas horizontais. O conteúdo é análise de assíntotas de funções racionais, para o qual vamos precisar fatorar numerador e denominador, simplificar a função e usar limites laterais (para assíntota vertical) e limites no infinito (para assíntota horizontal).

Passo 2

Primeiro achamos o domínio e simplificamos a expressão. Note que
x^2-2x+1=(x-1)^2, x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
Para xneq1 podemos cancelar um fator (x-1), obtendo
f(x)=x^3-1(x-1)^2 =(x-1)(x^2+x+1)(x-1)^2 =x^2+x+1x-1equiv g(x)
Logo o domínio é Rsetminus1 e x=1 é ponto de descontinuidade.

Passo 3

Para ver se x=1 é assíntota vertical, calculamos limites laterais de g(x) quando xto1:
limxto1^+g(x) =limxto1^+x^2+x+1x-1 =+infty,
limxto1^-g(x) =limxto1^-x^2+x+1x-1 =-infty
Como em uma lateral o valor vai a +infty e na outra a -infty, concluímos que x=1 é de fato assíntota vertical.

Passo 4

Para assíntota horizontal, comparamos os graus de numerador e denominador de g(x)=x^2+x+1x-1. O grau do numerador é 2 e o do denominador é 1, logo o numerador “cresce mais rápido” e
limxto+inftyg(x)=+infty, limxto-inftyg(x)=-infty
Não existe, portanto, linha horizontal que o gráfico aproxime. (Em vez disso há uma assíntota oblíqua, que se acha dividindo polinômios:
x^2+x+1x-1=x+2+3x-1,
portanto y=x+2 é a assíntota oblíqua.)

Passo 5

Esboço qualitativo do gráfico de f:
  • A reta tracejada vertical x=1 é assíntota; à esquerda dela o ramo cai de -infty ao aproximar-se de x=1^-, e à direita sobe de +infty ao aproximar-se de x=1^+.
  • Para xtopminfty, o gráfico se afasta sem se nivelar, mas acompanha a reta oblíqua y=x+2.
  • Por exemplo, f(0)=-1 e f(2)=7, mostrando como o ramo à direita de x=1 passa acima da oblíqua.

Resposta

Assíntota vertical: x=1.
Assíntota horizontal: não existe.

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