Para cada função abaixo determine, se existirem, as assíntotas verticais e as assíntotas horizontais. Quando existirem, além dos cálculos, faça esboço gráfico ilustrando o comportamento e, quando não, justifique com os cálculos.
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinar as assíntotas verticais e as assíntotas horizontais. O conteúdo é análise de assíntotas de funções racionais, para o qual vamos precisar fatorar numerador e denominador, simplificar a função e usar limites laterais (para assíntota vertical) e limites no infinito (para assíntota horizontal).
Passo 2
Primeiro achamos o domínio e simplificamos a expressão. Note que
Para
podemos cancelar um fator
, obtendo
Logo o domínio é
e
é ponto de descontinuidade.
Passo 3
Para ver se
é assíntota vertical, calculamos limites laterais de
quando
:
Como em uma lateral o valor vai a
e na outra a
, concluímos que
é de fato assíntota vertical.
Passo 4
Para assíntota horizontal, comparamos os graus de numerador e denominador de
. O grau do numerador é 2 e o do denominador é 1, logo o numerador “cresce mais rápido” e
Não existe, portanto, linha horizontal que o gráfico aproxime. (Em vez disso há uma assíntota oblíqua, que se acha dividindo polinômios:
portanto
é a assíntota oblíqua.)
Passo 5
Esboço qualitativo do gráfico de
:
- A reta tracejada vertical
é assíntota; à esquerda dela o ramo cai de ao aproximar-se de , e à direita sobe de ao aproximar-se de . - Para
, o gráfico se afasta sem se nivelar, mas acompanha a reta oblíqua . - Por exemplo,
e , mostrando como o ramo à direita de passa acima da oblíqua.
Resposta
Assíntota vertical:
.
Assíntota horizontal: não existe.
Assíntota horizontal: não existe.