Determine tanto a série de Fourier do senos como a série de Fourier dos cossenos das funções abaixo. Estude as séries obtidas quanto à convergência e esboce o gráfico das extensões periódicas par e ímpar.
f(x)=1 para x in(0,1);

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=1para xin(0,1)
e pede duas séries de Fourier no intervalo (0,1): a série de cossenos (extensão par de período 2) e a série de senos (extensão ímpar de período 2). Para isso, vamos calcular os coeficientes clássicos
a0,;an=21integral0^1f(x)cos(npi x),dx, bn=21integral0^1f(x)sin(npi x),dx

Passo 2

Cálculo de a0 e an. Temos
a0=2integral0^11,dx=2
Para n>=1,
an=2integral0^1cos(npi x),dx =2l[sin(npi x)npir]0^1 =2sin(npi)npi=0,
pois sin(npi)=0.

Passo 3

Logo, a série de cossenos fica
f(x)sim a02+sumn=1^inftyancos(npi x) =1+sumn=1^infty0cdotcos(npi x) =1
Isto reflete que a extensão par periódica de f é simplesmente a função constante 1 de período 2.

Passo 4

Cálculo de bn. Para n>=1,
bn=2integral0^1sin(npi x),dx =2l[-cos(npi x)npir]0^1 =21-cos(npi)npi
Como cos(npi)=(-1)^n, temos
1-cos(npi)= 2,&n ímpar, 0,&n par í
Logo
bn= 4npi,&n ímpar, 0,&n par í

Passo 5

A série de senos (extensão ímpar) é
f(x)sim sumn=1^inftybnsin(npi x) =sumk=0^infty4(2k+1)pi, sinl((2k+1)pi xr)

Passo 6

Quanto à convergência:
  • A série de cossenos converge uniformemente para a extensão par, que é a constante 1 em todo R.
  • A série de senos converge ponto a ponto para f(x)=1 em (0,1) e, pelas propriedades de séries de Fourier ímpares, assume valor 0 nos pontos de descontinuidade da extensão ímpar (i.e.\ em x=k, kinZ).

Passo 7

Gráfico da extensão par periódica (período 2): é simplesmente
fpar(x)=1
para todo x, uma reta horizontal de altura 1.

Passo 8

Gráfico da extensão ímpar periódica (período 2): na base (0,1) vale +1, em (-1,0) vale -1, repetindo esse bloco continuamente. É a clássica onda quadrada com amplitude pm1.

Resposta

Série de cossenos (extensão par):
f(x)=1
Série de senos (extensão ímpar):
f(x)sim sumk=0^infty4(2k+1)pi, sinl((2k+1)pi xr)

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