Determine tanto a série de Fourier do senos como a série de Fourier dos cossenos das funções abaixo. Estude as séries obtidas quanto à convergência e esboce o gráfico das extensões periódicas par e ímpar. para ;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas séries de Fourier no intervalo : a série de cossenos (extensão par de período ) e a série de senos (extensão ímpar de período ). Para isso, vamos calcular os coeficientes clássicos
Passo 2
Cálculo de e . Temos
Para ,
pois .
Passo 3
Logo, a série de cossenos fica
Isto reflete que a extensão par periódica de é simplesmente a função constante de período .
A série de cossenos converge uniformemente para a extensão par, que é a constante 1 em todo R.
A série de senos converge ponto a ponto para f(x)=1 em (0,1) e, pelas propriedades de séries de Fourier ímpares, assume valor 0 nos pontos de descontinuidade da extensão ímpar (i.e.\ em x=k, kinZ).
Passo 7
Gráfico da extensão par periódica (período 2): é simplesmente
fpar(x)=1
para todo x, uma reta horizontal de altura 1.
Passo 8
Gráfico da extensão ímpar periódica (período 2): na base (0,1) vale +1, em (-1,0) vale -1, repetindo esse bloco continuamente. É a clássica onda quadrada com amplitude pm1.