Para cada função abaixo, determine:
a) Números críticos
b)Intervalos de crescimento e decrescimento
c) Extremos locais (máximos e mínimos)
Funções:
a) Números críticos
b)Intervalos de crescimento e decrescimento
c) Extremos locais (máximos e mínimos)
Funções:
Passo 1
O enunciado pede, para a função
com
:\n
a) os números críticos;\n
b) os intervalos de crescimento e decrescimento;\n
c) os extremos locais (máximos e mínimos).\n
Informações dadas: a expressão explícita de e o intervalo fechado
. Não há outras condições escondidas.
a) os números críticos;\n
b) os intervalos de crescimento e decrescimento;\n
c) os extremos locais (máximos e mínimos).\n
Informações dadas: a expressão explícita de
Passo 2
Vamos começar derivando
. Aqui uso regras básicas de derivação:
- A derivada de
é . - A derivada de
(regra da cadeia) é .\n
Aplicando a isso:
Derivando termo a termo:
O
vem da derivada de
. Simplificando os fatores:
Para facilitar a análise, uso a identidade
. Assim:
Explicando: fatoramos
para reduzir o problema a analisar o sinal de dois fatores.
Passo 3
Números críticos: são pontos em que
ou
não está definida. Aqui
existe para todo
, então só resolvemos
:
Isso dá duas equações:
-
. Em isso ocorre em
-
, i.e. . Em as soluções são
Portanto os números críticos internos são
Passo 4
Agora determinamos onde
é positivo (cresce) ou negativo (decresce). Como
, o sinal é o produto dos sinais de
e de
.
Observações úteis:
-
em e ; em . -
sempre que . Como em , o fator é negativo apenas no intervalo aberto
e é positivo no restante do intervalo
.
Agora uso esses sinais para cada subintervalo delimitado pelos pontos críticos: ordem dos pontos em
é
Faço uma análise por trechos (ponto de teste em cada trecho):
- Em
: , (crescente). - Em
: , (decrescente). - Em
: , (crescente). - Em
: , (decrescente). - Em
: , (crescente).
Portanto os intervalos de crescimento e decrescimento são exatamente esses.
Passo 5
Classificação dos extremos locais por mudança de sinal de
:
- Em
: muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) → máximo local. - Em
: muda de negativo para positivo → mínimo local. - Em
: muda de positivo para negativo → máximo local. - Em
: muda de negativo para positivo → mínimo local.
Calculamos os valores de
nesses pontos. Para facilitar uso a identidade
(ou use valores trigonométricos conhecidos).
Cálculos:
- Em
: e . Então
- Em
: e . Então
- Em
e : , então e . Logo
Resumo: valores nos extremos locais obtidos acima.
Observação rápida sobre extremos globais: entre os valores encontrados, o maior é
(máximo absoluto no intervalo) e o menor é
(mínimo absoluto), se isso interessar para a prova.
Resposta
a)
\n
b) Cresce em . Decresce em
\n
c) Máximos locais: com
, e
com
.\nMínimos locais:
e
, ambos com
.
b) Cresce em
c) Máximos locais: