Para cada função abaixo, determine:
a) Números críticos
b)Intervalos de crescimento e decrescimento
c) Extremos locais (máximos e mínimos)
Funções:
h(x)=\sin (x)-\frac{1}{2} \cos (2 x), \quad x \in[0,2 \pi]

Passo 1

O enunciado pede, para a função \displaystyle h(x)=\sin(x)-\frac{1}{2}\cos(2x) com x\in[0,2\pi]:\n
a) os números críticos;\n
b) os intervalos de crescimento e decrescimento;\n
c) os extremos locais (máximos e mínimos).\n
Informações dadas: a expressão explícita de h(x) e o intervalo fechado [0,2\pi]. Não há outras condições escondidas.

Passo 2

Vamos começar derivando h. Aqui uso regras básicas de derivação:
  • A derivada de \sin(x) é \cos(x).
  • A derivada de \cos(kx) (regra da cadeia) é -k\sin(kx).\n
    Aplicando a isso:
h(x)=\sin(x)-\frac{1}{2}\cos(2x).
Derivando termo a termo:
h'(x)=\cos(x)-\frac{1}{2}\cdot(-2\sin(2x)).
O -2 vem da derivada de \cos(2x). Simplificando os fatores:
h'(x)=\cos(x)+\sin(2x).
Para facilitar a análise, uso a identidade \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x). Assim:
h'(x)=\cos(x)+2\sin(x)\cos(x)=\cos(x)\bigl(1+2\sin(x)\bigr).
Explicando: fatoramos \cos(x) para reduzir o problema a analisar o sinal de dois fatores.

Passo 3

Números críticos: são pontos em que h'(x)=0 ou h' não está definida. Aqui h' existe para todo x, então só resolvemos h'(x)=0:
\cos(x)\bigl(1+2\sin(x)\bigr)=0.
Isso dá duas equações:
  1. \cos(x)=0. Em [0,2\pi] isso ocorre em
x=\frac{\pi}{2},\\ \frac{3\pi}{2}.
  1. 1+2\sin(x)=0, i.e. \sin(x)=-\tfrac{1}{2}. Em [0,2\pi] as soluções são
x=\frac{7\pi}{6},\\ \frac{11\pi}{6}.
Portanto os números críticos internos são
x=\frac{\pi}{2},\\ \frac{7\pi}{6},\\ \frac{3\pi}{2},\\ \frac{11\pi}{6}.

Passo 4

Agora determinamos onde h' é positivo (cresce) ou negativo (decresce). Como h'(x)=\cos(x)\bigl(1+2\sin(x)\bigr), o sinal é o produto dos sinais de \cos(x) e de 1+2\sin(x).
Observações úteis:
  • \cos(x)>0 em (0,\frac{\pi}{2}) e (\frac{3\pi}{2},2\pi); \cos(x)<0 em (\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}).
  • 1+2\sin(x)>0 sempre que \sin(x)>-1/2. Como \sin(x)=-1/2 em x=\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}, o fator 1+2\sin(x) é negativo apenas no intervalo aberto
\left(\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right),
e é positivo no restante do intervalo [0,2\pi].
Agora uso esses sinais para cada subintervalo delimitado pelos pontos críticos: ordem dos pontos em [0,2\pi] é
0,\\ \frac{\pi}{2},\\ \frac{7\pi}{6},\\ \frac{3\pi}{2},\\ \frac{11\pi}{6},\\\ 2\pi.
Faço uma análise por trechos (ponto de teste em cada trecho):
  • Em (0,\frac{\pi}{2}): \cos>0, 1+2\sin>0 \Rightarrow h'>0 (crescente).
  • Em (\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{6}): \cos<0, 1+2\sin>0 \Rightarrow h'<0 (decrescente).
  • Em (\frac{7\pi}{6},\frac{3\pi}{2}): \cos<0, 1+2\sin<0 \Rightarrow h'>0 (crescente).
  • Em (\frac{3\pi}{2},\frac{11\pi}{6}): \cos>0, 1+2\sin<0 \Rightarrow h'<0 (decrescente).
  • Em (\frac{11\pi}{6},2\pi): \cos>0, 1+2\sin>0 \Rightarrow h'>0 (crescente).
Portanto os intervalos de crescimento e decrescimento são exatamente esses.

Passo 5

Classificação dos extremos locais por mudança de sinal de h':
  • Em x=\frac{\pi}{2}: h' muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) → máximo local.
  • Em x=\frac{7\pi}{6}: h' muda de negativo para positivo → mínimo local.
  • Em x=\frac{3\pi}{2}: h' muda de positivo para negativo → máximo local.
  • Em x=\frac{11\pi}{6}: h' muda de negativo para positivo → mínimo local.
Calculamos os valores de h nesses pontos. Para facilitar uso a identidade \cos(2x)=1-2\sin^2(x) (ou use valores trigonométricos conhecidos).
Cálculos:
  • Em x=\frac{\pi}{2}: \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 e \cos(2\cdot\frac{\pi}{2})=\cos(\pi)=-1. Então
h\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1-\frac{1}{2}(-1)=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
  • Em x=\frac{3\pi}{2}: \sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1 e \cos(3\pi)=-1. Então
h\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1-\frac{1}{2}(-1)=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}.
  • Em x=\frac{7\pi}{6} e x=\frac{11\pi}{6}: \sin=-\tfrac{1}{2}, então \sin^2=\tfrac{1}{4} e \cos(2x)=1-2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}. Logo
h\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=h\!\left(\frac{11\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}.
Resumo: valores nos extremos locais obtidos acima.
Observação rápida sobre extremos globais: entre os valores encontrados, o maior é h(\tfrac{\pi}{2})=\tfrac{3}{2} (máximo absoluto no intervalo) e o menor é h(\tfrac{7\pi}{6})=h(\tfrac{11\pi}{6})=-\tfrac{3}{4} (mínimo absoluto), se isso interessar para a prova.

Resposta

a) x=\dfrac{\pi}{2},\\ \dfrac{7\pi}{6},\\ \dfrac{3\pi}{2},\\ \dfrac{11\pi}{6}.\n
b) Cresce em \displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{7\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{6},2\pi\right]. Decresce em \displaystyle \left(\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2},\frac{11\pi}{6}\right).\n
c) Máximos locais: \displaystyle x=\frac{\pi}{2} com h\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{3}{2}, e \displaystyle x=\frac{3\pi}{2} com h\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-\frac{1}{2}.\nMínimos locais: \displaystyle x=\frac{7\pi}{6} e \displaystyle x=\frac{11\pi}{6}, ambos com h=-\frac{3}{4}.

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