Para cada função abaixo, determine:
a) Números críticos
b)Intervalos de crescimento e decrescimento
c) Extremos locais (máximos e mínimos)
Funções:
a) Números críticos
b)Intervalos de crescimento e decrescimento
c) Extremos locais (máximos e mínimos)
Funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.\n
- Pede: (a) os números críticos de
; (b) os intervalos de crescimento e decrescimento de ; (c) os extremos locais (máximos e mínimos) de .\n - Função dada:
.\n - Informação útil imediata:
é um polinômio, logo está definida e derivável para todo . A ferramenta natural aqui é a derivada para achar críticos e estudar monotonia e extremos.
Passo 2
Derivada: como calcular e por que usar.\n
- Ideia: a derivada
dá a inclinação da reta tangente a em cada ponto; onde ou não existe temos candidatos a pontos críticos. Aqui é polinomial, então existe sempre e basta resolver .\n - Regra que usei (Regra do potência): a derivada de
é . Aplicando termo a termo em obtemos:
- Podemos fatorar para facilitar a resolução:
Passo 3
Encontrar os números críticos.\n
- Números críticos são pontos onde
ou onde não existe. Como existe para todo , procuramos .\n - Igualando a zero a fatoração:
- Assim os zeros são
, e .\n
Portanto os candidatos a números críticos são.
Passo 4
Estudo do sinal de
(teste da primeira derivada) para achar intervalos de crescimento/decrescimento.\n
- Como
está fatorada em , o sinal de em cada intervalo entre os críticos é o produto dos sinais dos fatores. O fator constante não altera o sinal.\n - Dividimos a reta em quatro intervalos:
, , , . Em cada intervalo escolhemos um ponto de teste e avaliamos o sinal de cada fator.
Intervalo
: ponto teste
.\n
-
é negativo, é negativo, é negativo. Produto: . Logo neste intervalo (decresce).
Intervalo
: ponto teste
.\n
-
é negativo, é negativo, é positivo. Produto: . Logo (cresce).
Intervalo
: ponto teste
.\n
-
é positivo, é negativo, é positivo. Produto: . Logo (decresce).
Intervalo
: ponto teste
.\n
- Todos os fatores são positivos: produto
. Logo (cresce).
Passo 5
Classificação dos extremos (teste da segunda derivada e verificação de valores).\n
- Segunda derivada: derivando
temos
- Avaliamos
nos pontos críticos:
- Interpretação (teste da segunda derivada): se
então é côncava para cima em e é mínimo local; se então é máximo local.\n - Assim
e são mínimos locais; é máximo local.\n - Calculamos os valores da função nesses pontos para dar as coordenadas dos extremos:
Passo 6
Resumo final dos resultados (preparando a resposta final).\n
- Encontramos os números críticos
.\n - Pelo sinal de
: decresce em , cresce em , decresce em e cresce em .\n - Pelo teste da segunda derivada e valores: mínimos locais em
e ; máximo local em .
Resposta
a) Números críticos:
\n
b) Crescimento: e
. Decrescimento:
e
.\n
c) Extremos locais: mínimos locais em e
com valor
(ou seja,
e
); máximo local em
com valor
(ou seja,
).
b) Crescimento:
c) Extremos locais: mínimos locais em