Para cada função abaixo, determine:
a) Números críticos
b)Intervalos de crescimento e decrescimento
c) Extremos locais (máximos e mínimos)
Funções:
g(x)=x^{4}-8 x^{2}+16

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.\n
  • Pede: (a) os números críticos de g; (b) os intervalos de crescimento e decrescimento de g; (c) os extremos locais (máximos e mínimos) de g.\n
  • Função dada: g(x)=x^{4}-8x^{2}+16.\n
  • Informação útil imediata: g é um polinômio, logo está definida e derivável para todo x\in\mathbb{R}. A ferramenta natural aqui é a derivada para achar críticos e estudar monotonia e extremos.

Passo 2

Derivada: como calcular e por que usar.\n
  • Ideia: a derivada g'(x) dá a inclinação da reta tangente a g em cada ponto; onde g'(x)=0 ou g' não existe temos candidatos a pontos críticos. Aqui g é polinomial, então g' existe sempre e basta resolver g'(x)=0.\n
  • Regra que usei (Regra do potência): a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aplicando termo a termo em g(x)=x^{4}-8x^{2}+16 obtemos:
g'(x)=4x^{3}-16x.
  • Podemos fatorar para facilitar a resolução:
g'(x)=4x^{3}-16x=4x\bigl(x^{2}-4\bigr)=4x(x-2)(x+2).

Passo 3

Encontrar os números críticos.\n
  • Números críticos são pontos onde g'(x)=0 ou onde g' não existe. Como g' existe para todo x, procuramos g'(x)=0.\n
  • Igualando a zero a fatoração:
4x(x-2)(x+2)=0.
  • Assim os zeros são x=0, x=2 e x=-2.\n
    Portanto os candidatos a números críticos são -2,\;0,\;2.

Passo 4

Estudo do sinal de g' (teste da primeira derivada) para achar intervalos de crescimento/decrescimento.\n
  • Como g' está fatorada em 4x(x-2)(x+2), o sinal de g' em cada intervalo entre os críticos é o produto dos sinais dos fatores. O fator constante 4>0 não altera o sinal.\n
  • Dividimos a reta em quatro intervalos: (-\infty,-2), (-2,0), (0,2), (2,\infty). Em cada intervalo escolhemos um ponto de teste e avaliamos o sinal de cada fator.
Intervalo (-\infty,-2): ponto teste x=-3.\n
  • x é negativo, x-2 é negativo, x+2 é negativo. Produto: (-) \cdot (-) \cdot (-) = (-). Logo g'(x)<0 neste intervalo (decresce).
Intervalo (-2,0): ponto teste x=-1.\n
  • x é negativo, x-2 é negativo, x+2 é positivo. Produto: (-) \cdot (-) \cdot (+) = (+). Logo g'(x)>0 (cresce).
Intervalo (0,2): ponto teste x=1.\n
  • x é positivo, x-2 é negativo, x+2 é positivo. Produto: (+) \cdot (-) \cdot (+) = (-). Logo g'(x)<0 (decresce).
Intervalo (2,\infty): ponto teste x=3.\n
  • Todos os fatores são positivos: produto (+) \cdot (+) \cdot (+) = (+). Logo g'(x)>0 (cresce).

Passo 5

Classificação dos extremos (teste da segunda derivada e verificação de valores).\n
  • Segunda derivada: derivando g'(x)=4x^{3}-16x temos
g''(x)=12x^{2}-16=4\bigl(3x^{2}-4\bigr).
  • Avaliamos g'' nos pontos críticos:
g''(-2)=12\cdot(-2)^{2}-16=12\cdot4-16=48-16=32>0,
g''(0)=12\cdot0^{2}-16=-16<0,
g''(2)=12\cdot2^{2}-16=48-16=32>0.
  • Interpretação (teste da segunda derivada): se g''(x_{0})>0 então g é côncava para cima em x_{0} e x_{0} é mínimo local; se g''(x_{0})<0 então é máximo local.\n
  • Assim x=-2 e x=2 são mínimos locais; x=0 é máximo local.\n
  • Calculamos os valores da função nesses pontos para dar as coordenadas dos extremos:
g(-2)=(-2)^{4}-8(-2)^{2}+16=16-8\cdot4+16=16-32+16=0,
g(2)=2^{4}-8\cdot2^{2}+16=16-32+16=0,
g(0)=0^{4}-8\cdot0^{2}+16=16.

Passo 6

Resumo final dos resultados (preparando a resposta final).\n
  • Encontramos os números críticos -2,0,2.\n
  • Pelo sinal de g': g decresce em (-\infty,-2), cresce em (-2,0), decresce em (0,2) e cresce em (2,\infty).\n
  • Pelo teste da segunda derivada e valores: mínimos locais em (-2,0) e (2,0); máximo local em (0,16).

Resposta

a) Números críticos: -2,\;0,\;2\n
b) Crescimento: (-2,0) e (2,\infty). Decrescimento: (-\infty,-2) e (0,2).\n
c) Extremos locais: mínimos locais em x=-2 e x=2 com valor 0 (ou seja, (-2,0) e (2,0)); máximo local em x=0 com valor 16 (ou seja, (0,16)).

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