Para cada função abaixo, determine:
a) Números críticos
b)Intervalos de crescimento e decrescimento
c) Extremos locais (máximos e mínimos)
Funções:
g(x)=4 x^{1 / 2}(x-2)^{2}

Passo 1

O enunciado pede, para a função \displaystyle g(x)=4 x^{1/2}(x-2)^{2}:
  • (a) os números críticos;
  • (b) os intervalos onde g cresce e decresce;
  • (c) os extremos locais (máximos e mínimos).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função envolve \displaystyle x^{1/2}, então a sua expressão está definida apenas para \displaystyle x\ge 0. Logo o domínio é [0,\infty).
  • Precisaremos calcular \displaystyle g'(x), achar onde \displaystyle g'(x)=0 e onde \displaystyle g' é indefinida (mas \displaystyle x está no domínio) — esses pontos são os candidatos a números críticos.
  • Também precisaremos analisar o sinal de \displaystyle g'(x) nos intervalos do domínio para decidir crescimento/decrescimento e classificar extremos.

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (explicadinhos, sem pular etapas):
  • Número crítico: é qualquer ponto do domínio onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a extremos locais.
  • Derivação — regras que usamos:
    • Regra do poder (power rule): para \displaystyle f(x)=x^{p}, \displaystyle f'(x)=p\,x^{p-1}. Ex.: se f(x)=x^{1/2} então f'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\tfrac{1}{2\sqrt{x}}.
    • Regra do produto: se \displaystyle u(x)v(x), \displaystyle (uv)'=u'v+uv'.
  • Teste da primeira derivada para extremos: se em um ponto crítico a derivada muda de positiva para negativa, há um máximo local; se muda de negativa para positiva, há um mínimo local. Se não muda de sinal, não é extremo local (pode ser ponto de inflexão).
Vou aplicar essas regras passo a passo à função dada.

Passo 3

Calcular a derivada \displaystyle g'(x) passo a passo.
Escrevo \displaystyle g como produto de duas funções:
g(x)=\underbrace{4x^{1/2}}_{u(x)}\underbrace{(x-2)^2}_{v(x)}.
Derivo cada fator:
  • Pela regra do poder,
u'(x)=4\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=2x^{-1/2}=\frac{2}{\sqrt{x}}.
  • Pela regra do poder (ou cadeia simples),
v'(x)=2(x-2).
Agora aplico a regra do produto:
g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =\frac{2}{\sqrt{x}}(x-2)^2 + 4x^{1/2}\cdot 2(x-2).

Passo 4

Simplificar \displaystyle g'(x) para fatorar e facilitar a análise de sinais.
Parto da expressão já obtida:
g'(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}(x-2)^2 + 8\sqrt{x}(x-2).
Fatoro 2(x-2) que aparece em ambos os termos:
g'(x)=2(x-2)\left(\frac{x-2}{\sqrt{x}} + 4\sqrt{x}\right).
Coloco em denominador comum \sqrt{x} no parêntese:
\frac{x-2}{\sqrt{x}} + 4\sqrt{x}=\frac{x-2 + 4x}{\sqrt{x}}=\frac{5x-2}{\sqrt{x}}.
Portanto
\boxed{\,g'(x)=2(x-2)\,\frac{5x-2}{\sqrt{x}}\,}
essa expressão vale para \displaystyle x>0. Lembre que \sqrt{x}>0 para x>0.

Passo 5

Encontrar os números críticos: pontos do domínio onde \displaystyle g'(x)=0 ou \displaystyle g' é indefinida.
  1. Zeros de \displaystyle g'(x): resolver
2(x-2)(5x-2)=0.
Como 2\neq0, os fatores dão:
x-2=0 \Rightarrow x=2,
5x-2=0 \Rightarrow x=\frac{2}{5}.
Ambos estão no domínio [0,\infty).
  1. Pontos onde \displaystyle g' não existe: pela forma fatorada vemos \sqrt{x} no denominador, então \displaystyle g' não está definida em x=0. Como x=0 pertence ao domínio da função original, isso também é um número crítico.
Conclusão: os números críticos são
\boxed{x=0,\quad x=\frac{2}{5},\quad x=2.}

Passo 6

Analisar o sinal de \displaystyle g'(x) para determinar intervalos de crescimento/decrescimento. Como o domínio é [0,\infty) e os críticos (ordenados) são 0<\tfrac{2}{5}<2, consideramos os intervalos:
(0,\tfrac{2}{5}),\quad (\tfrac{2}{5},2),\quad (2,\infty).
(Observação: no ponto x=0 só podemos olhar à direita, pois não há valores de x<0 no domínio.)
A expressão para o sinal é, para x>0,
\operatorname{sgn}(g'(x))=\operatorname{sgn}\big((x-2)(5x-2)\big),
pois 2/\sqrt{x}>0.
Faço a análise fator a fator:
  • Para 0<x<\tfrac{2}{5}: x-2<0 e 5x-2<0 (pois 5x<2). Produto de dois negativos é positivo. Logo g'(x)>0 em (0,\tfrac{2}{5}).
  • Para \tfrac{2}{5}<x<2: x-2<0 e 5x-2>0. Produto negativo, logo g'(x)<0 em (\tfrac{2}{5},2).
  • Para x>2: x-2>0 e 5x-2>0. Produto positivo, logo g'(x)>0 em (2,\infty).
Também preciso comentar o comportamento em x=0: como para pequenos x>0 temos g'(x)>0, a função aumenta imediatamente à direita de 0.
Portanto:
  • Crescimento: (0,\tfrac{2}{5}) e (2,\infty).
  • Decrescimento: (\tfrac{2}{5},2).
    No ponto x=0 temos apenas crescimento à direita; frequentemente classifica-se o intervalo de crescimento incluindo o ponto 0 como [0,\tfrac{2}{5}) se quisermos sinalizar que a função sobe a partir do endpoint.

Passo 7

Classificar extremos locais usando o teste da primeira derivada e calcular valores de g nos pontos críticos.
  • Em x=0: não há valores à esquerda, mas a derivada à direita é positiva (função sobe para a direita). Isso faz de x=0 um mínimo local de extremidade (endpoint minimum). Valor:
g(0)=4\sqrt{0}(0-2)^2=0.
  • Em x=\tfrac{2}{5}: a derivada muda de positiva (à esquerda) para negativa (à direita), portanto x=\tfrac{2}{5} é um máximo local. Calculo o valor:
\sqrt{\tfrac{2}{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5},\qquad \left(\tfrac{2}{5}-2\right)^2=\left(-\tfrac{8}{5}\right)^2=\tfrac{64}{25}.
Logo
g\!\left(\tfrac{2}{5}\right) =4\cdot\frac{\sqrt{10}}{5}\cdot\frac{64}{25} =\frac{256\sqrt{10}}{125}.
  • Em x=2: a derivada muda de negativa (à esquerda) para positiva (à direita), logo x=2 é um mínimo local. Valor:
g(2)=4\sqrt{2}\cdot(2-2)^2=0.
Observação extra (útil para a prova): como g(x)=4\sqrt{x}(x-2)^2\ge 0 para todo x\ge0, os valores 0 em x=0 e x=2 são mínimos (e de fato mínimos globais), mas o enunciado pedia apenas extremos locais.

Resposta

(a) x=0,\;x=\dfrac{2}{5},\;x=2.\n
(b) g cresce em (0,\tfrac{2}{5}) e em (2,\infty); g decresce em (\tfrac{2}{5},2).\n
(c) mínimo local em x=0 com g(0)=0; máximo local em x=\dfrac{2}{5} com g\big(\tfrac{2}{5}\big)=\dfrac{256\sqrt{10}}{125}; mínimo local em x=2 com g(2)=0.

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