Para cada função abaixo, determine:
a) Números críticos
b)Intervalos de crescimento e decrescimento
c) Extremos locais (máximos e mínimos)
Funções: g(x)=4 x^{1 / 2}(x-2)^{2}
Passo 1
O enunciado pede, para a função \displaystyle g(x)=4 x^{1/2}(x-2)^{2}:
(a) os números críticos;
(b) os intervalos onde g cresce e decresce;
(c) os extremos locais (máximos e mínimos).
Informações dadas e observações imediatas:
A função envolve \displaystyle x^{1/2}, então a sua expressão está definida apenas para \displaystyle x\ge 0. Logo o domínio é [0,\infty).
Precisaremos calcular \displaystyle g'(x), achar onde \displaystyle g'(x)=0 e onde \displaystyle g' é indefinida (mas \displaystyle x está no domínio) — esses pontos são os candidatos a números críticos.
Também precisaremos analisar o sinal de \displaystyle g'(x) nos intervalos do domínio para decidir crescimento/decrescimento e classificar extremos.
Passo 2
Conceitos e regras que vamos usar (explicadinhos, sem pular etapas):
Número crítico: é qualquer ponto do domínio onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a extremos locais.
Derivação — regras que usamos:
Regra do poder (power rule): para \displaystyle f(x)=x^{p}, \displaystyle f'(x)=p\,x^{p-1}. Ex.: se f(x)=x^{1/2} então f'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\tfrac{1}{2\sqrt{x}}.
Regra do produto: se \displaystyle u(x)v(x), \displaystyle (uv)'=u'v+uv'.
Teste da primeira derivada para extremos: se em um ponto crítico a derivada muda de positiva para negativa, há um máximo local; se muda de negativa para positiva, há um mínimo local. Se não muda de sinal, não é extremo local (pode ser ponto de inflexão).
Vou aplicar essas regras passo a passo à função dada.
Passo 3
Calcular a derivada \displaystyle g'(x) passo a passo.
Escrevo \displaystyle g como produto de duas funções:
essa expressão vale para \displaystyle x>0. Lembre que \sqrt{x}>0 para x>0.
Passo 5
Encontrar os números críticos: pontos do domínio onde \displaystyle g'(x)=0 ou \displaystyle g' é indefinida.
Zeros de \displaystyle g'(x): resolver
2(x-2)(5x-2)=0.
Como 2\neq0, os fatores dão:
x-2=0 \Rightarrow x=2,
5x-2=0 \Rightarrow x=\frac{2}{5}.
Ambos estão no domínio [0,\infty).
Pontos onde \displaystyle g' não existe: pela forma fatorada vemos \sqrt{x} no denominador, então \displaystyle g' não está definida em x=0. Como x=0 pertence ao domínio da função original, isso também é um número crítico.
Conclusão: os números críticos são
\boxed{x=0,\quad x=\frac{2}{5},\quad x=2.}
Passo 6
Analisar o sinal de \displaystyle g'(x) para determinar intervalos de crescimento/decrescimento. Como o domínio é [0,\infty) e os críticos (ordenados) são 0<\tfrac{2}{5}<2, consideramos os intervalos:
Para 0<x<\tfrac{2}{5}: x-2<0 e 5x-2<0 (pois 5x<2). Produto de dois negativos é positivo. Logo g'(x)>0 em (0,\tfrac{2}{5}).
Para \tfrac{2}{5}<x<2: x-2<0 e 5x-2>0. Produto negativo, logo g'(x)<0 em (\tfrac{2}{5},2).
Para x>2: x-2>0 e 5x-2>0. Produto positivo, logo g'(x)>0 em (2,\infty).
Também preciso comentar o comportamento em x=0: como para pequenos x>0 temos g'(x)>0, a função aumenta imediatamente à direita de 0.
Portanto:
Crescimento: (0,\tfrac{2}{5}) e (2,\infty).
Decrescimento: (\tfrac{2}{5},2).
No ponto x=0 temos apenas crescimento à direita; frequentemente classifica-se o intervalo de crescimento incluindo o ponto 0 como [0,\tfrac{2}{5}) se quisermos sinalizar que a função sobe a partir do endpoint.
Passo 7
Classificar extremos locais usando o teste da primeira derivada e calcular valores de g nos pontos críticos.
Em x=0: não há valores à esquerda, mas a derivada à direita é positiva (função sobe para a direita). Isso faz de x=0 um mínimo local de extremidade (endpoint minimum). Valor:
g(0)=4\sqrt{0}(0-2)^2=0.
Em x=\tfrac{2}{5}: a derivada muda de positiva (à esquerda) para negativa (à direita), portanto x=\tfrac{2}{5} é um máximo local. Calculo o valor:
Em x=2: a derivada muda de negativa (à esquerda) para positiva (à direita), logo x=2 é um mínimo local. Valor:
g(2)=4\sqrt{2}\cdot(2-2)^2=0.
Observação extra (útil para a prova): como g(x)=4\sqrt{x}(x-2)^2\ge 0 para todo x\ge0, os valores 0 em x=0 e x=2 são mínimos (e de fato mínimos globais), mas o enunciado pedia apenas extremos locais.
Resposta
(a) x=0,\;x=\dfrac{2}{5},\;x=2.\n
(b) g cresce em (0,\tfrac{2}{5}) e em (2,\infty); g decresce em (\tfrac{2}{5},2).\n
(c) mínimo local em x=0 com g(0)=0; máximo local em x=\dfrac{2}{5} com g\big(\tfrac{2}{5}\big)=\dfrac{256\sqrt{10}}{125}; mínimo local em x=2 com g(2)=0.