Para cada função abaixo, determine os pontos de máximo e de mínimo, os intervalos em que ela é crescente e aqueles em que ela é decrescente:
(e) f(x)=2 x-x^2.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar, pra função f(x)=2x−x², os pontos de máximo e mínimo, e também os intervalos onde ela cresce e decresce. O conteúdo envolvido é derivada de funções e estudo de sinais de f’(x).

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f. Como f(x)=2x−x², por regra de potência e soma temos:
f'(x)=ddx(2x) - ddx(x^2)=2 - 2x
A derivada nos diz onde a função tem pontos críticos e como ela varia.

Passo 3

Para encontrar pontos críticos, igualamos f’(x) a zero:
2 - 2x = 0 implies x=1
Só temos esse ponto onde a derivada some.

Passo 4

Agora, pra ver onde f é crescente ou decrescente, analisamos o sinal de f’(x)=2−2x:
  • Se x<1, então 2−2x>0, então f’(x)>0 e f cresce em (−∞,1).
  • Se x>1, então 2−2x<0, então f’(x)<0 e f decresce em (1,∞).

Passo 5

Como a derivada muda de positiva pra negativa ao passar por x=1, a função tem um ponto de máximo em x=1. O valor é f(1)=2·1−1²=1. Não há ponto de mínimo porque a parábola abre para baixo e tende a −∞ fora desse pico.

Resposta

Ponto de máximo: (1,1). Não há ponto de mínimo. f é crescente em (−∞,1) e decrescente em (1,∞).

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