Calcule os seguintes limites usando L(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando $ x $ vai para o infinito de
. Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo de limites usando a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar entender os comportamentos dos polinômios no infinito e como aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos quando $ x $ cresce para o infinito. No numerador, temos $ x^{3} - 5x^{2} + 1 $. Quando $ x $ fica muito grande, o termo que mais pesa é $ x^{3} $, porque cresce mais rápido que os outros. No denominador, $ 3x + 7 $, o termo dominante é $ 3x $. Então, intuitivamente, a fração se comporta como
, que vai para infinito quando $ x $ cresce.
Passo 3
Mas, para seguir direitinho usando a Regra de L’Hôpital, vamos verificar se podemos aplicá-la. Quando $ x $ vai para o infinito, tanto o numerador quanto o denominador vão para o infinito. Isso é uma condição para usar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador para facilitar o cálculo.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Agora, o limite fica:
Passo 5
Simplificando a nova fração:
Agora, analisando esse novo limite:
Porque $ x^{2} $ cresce sem limite quando $ x $ vai para o infinito.
Resposta
O limite é $ +\infty $.