Calcule os seguintes limites usando L(b) lim x +infty x^3-5 x^2+13 x+7

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando $ x $ vai para o infinito de x . Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo de limites usando a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar entender os comportamentos dos polinômios no infinito e como aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos quando $ x $ cresce para o infinito. No numerador, temos $ x^{3} - 5x^{2} + 1 $. Quando $ x $ fica muito grande, o termo que mais pesa é $ x^{3} $, porque cresce mais rápido que os outros. No denominador, $ 3x + 7 $, o termo dominante é $ 3x $. Então, intuitivamente, a fração se comporta como x , que vai para infinito quando $ x $ cresce.

Passo 3

Mas, para seguir direitinho usando a Regra de L’Hôpital, vamos verificar se podemos aplicá-la. Quando $ x $ vai para o infinito, tanto o numerador quanto o denominador vão para o infinito. Isso é uma condição para usar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador para facilitar o cálculo.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador: ddx(x^3 - 5x^2 + 1) = 3x^2 - 10x
  • Derivada do denominador: ddx(3x + 7) = 3
Agora, o limite fica:
limx to +infty 3x^2 - 10x3

Passo 5

Simplificando a nova fração:
3x^2 - 10x3 = x^2 - 103x
Agora, analisando esse novo limite:
limx to +infty ( x^2 - 103x ) = +infty
Porque $ x^{2} $ cresce sem limite quando $ x $ vai para o infinito.

Resposta

O limite é $ +\infty $.

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