Para cada função abaixo, determine os pontos de máximo e de mínimo, os intervalos em que ela é crescente e aqueles em que ela é decrescente:
(a)
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(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A gente precisa analisar a função $ f(x) = x{2}(x-12){2} $. O objetivo é encontrar os pontos de máximo e mínimo da função, além de determinar os intervalos onde ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos. Expandindo $ f(x) = x{2}(x-12){2} $:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem estar os máximos e mínimos), precisamos calcular a derivada primeira da função e igualá-la a zero. A derivada nos diz a taxa de variação da função.
Passo 4
Vamos fatorar a derivada para encontrar onde ela é igual a zero:
Resolvendo $ x^{2} - 18x + 72 = 0 $:
Então, as raízes são:
Portanto, os pontos críticos são $ x = 0 $, $ x = 6 $ e $ x = 12 $.
Passo 5
Para determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão, vamos usar a derivada segunda da função:
Agora, avaliamos a derivada segunda em cada ponto crítico:
- Em $ x = 0 $:
- Em $ x = 6 $:
- Em $ x = 12 $:
Passo 6
Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, analisamos o sinal da derivada primeira $ f’(x) $ em cada intervalo definido pelos pontos críticos $ x = 0 $, $ x = 6 $ e $ x = 12 $:
-
Intervalo $ (-\infty, 0) $:Escolha $ x = -1 $:
-
Intervalo $ (0, 6) $:Escolha $ x = 3 $:
-
Intervalo $ (6, 12) $:Escolha $ x = 9 $:
-
Intervalo $ (12, +\infty) $:Escolha $ x = 13 $:
Resposta
- Pontos de Mínimo: $ x = 0 $ e $ x = 12 $
- Ponto de Máximo: $ x = 6 $
- Intervalos onde a função é Crescente: $ (0, 6) $ e $ (12, +\infty) $
- Intervalos onde a função é Decrescente: $ (-\infty, 0) $ e $ (6, 12) $