Para cada função abaixo, determine os pontos de máximo e de mínimo, os intervalos em que ela é crescente e aqueles em que ela é decrescente:
(a) f(x)=x^2(x-12)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A gente precisa analisar a função $ f(x) = x{2}(x-12){2} $. O objetivo é encontrar os pontos de máximo e mínimo da função, além de determinar os intervalos onde ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos. Expandindo $ f(x) = x{2}(x-12){2} $:
f(x) = x^2(x-12)^2

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem estar os máximos e mínimos), precisamos calcular a derivada primeira da função e igualá-la a zero. A derivada nos diz a taxa de variação da função.
f'(x) = ddx(x^4 - 24x^3 + 144x^2) = 4x^3 - 72x^2 + 288x

Passo 4

Vamos fatorar a derivada para encontrar onde ela é igual a zero:
f'(x) = 4x^3 - 72x^2 + 288x = 4x(x^2 - 18x + 72)
Resolvendo $ x^{2} - 18x + 72 = 0 $:
x^2 - 18x + 72 = 0
Então, as raízes são:
x = 18 pm raiz324 - 2882 = 18 pm raiz362 = 18 pm 62
Portanto, os pontos críticos são $ x = 0 $, $ x = 6 $ e $ x = 12 $.

Passo 5

Para determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão, vamos usar a derivada segunda da função:
f''(x) = ddx(4x^3 - 72x^2 + 288x) = 12x^2 - 144x + 288
Agora, avaliamos a derivada segunda em cada ponto crítico:
  1. Em $ x = 0 $:
x = 0 í
  1. Em $ x = 6 $:
f''(0) = 12(0)^2 - 144(0) + 288 = 288 > 0 Rightarrow Mínimo á
  1. Em $ x = 12 $:
x = 6 í

Passo 6

Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, analisamos o sinal da derivada primeira $ f’(x) $ em cada intervalo definido pelos pontos críticos $ x = 0 $, $ x = 6 $ e $ x = 12 $:
  1. Intervalo $ (-\infty, 0) $:
    Escolha $ x = -1 $:
    f'(x)
  2. Intervalo $ (0, 6) $:
    Escolha $ x = 3 $:
    x = 0
  3. Intervalo $ (6, 12) $:
    Escolha $ x = 9 $:
    x = 6
  4. Intervalo $ (12, +\infty) $:
    Escolha $ x = 13 $:
    x = 12

Resposta

  • Pontos de Mínimo: $ x = 0 $ e $ x = 12 $
  • Ponto de Máximo: $ x = 6 $
  • Intervalos onde a função é Crescente: $ (0, 6) $ e $ (12, +\infty) $
  • Intervalos onde a função é Decrescente: $ (-\infty, 0) $ e $ (6, 12) $

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