A seguir determine a veracidade (Falso ou Verdadeiro) das seguintes afirmações. Justifique as suas respostas.
O polinômio
é múltiplo de
, para todo número natural
.
O polinômio
Passo 1
Beleza, então a gente tem que analisar essa afirmação: “O polinômio $ x^{n} + 1 $ é múltiplo de $ x + 1 $, para todo número natural $ n \geq 1 $.” A matéria aqui envolve polinômios e divisão de polinômios. Vamos precisar entender quando um polinômio é múltiplo de outro, usando o Teorema do Resto para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um polinômio ser múltiplo de outro. Se o polinômio $ P(x) $ é múltiplo de $ Q(x) $, isso quer dizer que $ Q(x) $ divide $ P(x) $ sem deixar resto. Em outras palavras, quando a gente divide $ P(x) $ por $ Q(x) $, o resto dessa divisão é zero.
Passo 3
Para descobrir se $ x + 1 $ divide $ x^{n} + 1 $ sem deixar resto, vamos usar o Teorema do Resto. Esse teorema diz que o resto da divisão de um polinômio $ P(x) $ por $ x - a $ é simplesmente $ P(a) $. No nosso caso, $ Q(x) = x + 1 $ pode ser escrito como $ x - (-1) $. Então, o resto será $ P(-1) $.
Passo 4
Vamos calcular $ P(-1) $, onde $ P(x) = x^{n} + 1 $:
Agora, precisamos analisar o valor dessa expressão para diferentes valores de $ n $.
Passo 5
Observando a expressão $ (-1)^{n} + 1 $:
- Se $ n $ for par, $ (-1)^{n} = 1 $, então $ 1 + 1 = 2 $ (resto não é zero).
- Se $ n $ for ímpar, $ (-1)^{n} = -1 $, então $ -1 + 1 = 0 $ (resto zero).
Isso significa que $ x + 1 $ divide $ x^{n} + 1 $ somente quando $ n $ é ímpar.
Passo 6
A afirmação original diz que $ x^{n} + 1 $ é múltiplo de $ x + 1 $ para todo número natural $ n \geq 1 $. Mas vimos que isso só acontece quando $ n $ é ímpar. Portanto, a afirmação não é verdadeira para todos os valores de $ n $.
Resposta
Falso.