Determine todas as soluções da equação 2 sen^2(x)=5 cos (x)-1. Quantas soluções pertencem ao intervalo [0,4 pi] ?

Passo 1

Vamos analisar o problema: precisamos encontrar todas as soluções da equação 2 sin^2(x) = 5 cos(x) - 1 no intervalo [0, 4pi]. Para resolver essa equação, vamos utilizar conhecimentos de trigonometria, especialmente as identidades trigonométricas que relacionam o seno e o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante: sin^2(x) = 1 - cos^2(x). Essa identidade nos permitirá expressar a equação apenas em termos de cos(x), facilitando a resolução.

Passo 3

Substituindo sin^2(x) por 1 - cos^2(x) na equação original, temos:
2(1 - cos^2(x)) = 5 cos(x) - 1

Passo 4

Distribuindo o 2 dentro dos parênteses:
2 - 2cos^2(x) = 5 cos(x) - 1

Passo 5

Vamos levar todos os termos para o lado esquerdo da equação para formar uma equação quadrática em termos de cos(x):
-2cos^2(x) - 5cos(x) + 3 = 0

Passo 6

Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar a resolução:
2cos^2(x) + 5cos(x) - 3 = 0

Passo 7

Agora, temos uma equação quadrática na forma ax^2 + bx + c = 0, onde a = 2, b = 5 e c = -3. Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
cos(x) = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
cos(x) = -5 pm raiz25 + 244 = -5 pm raiz494 = -5 pm 74

Passo 8

Calculando as duas possíveis soluções para cos(x):
cos(x) = 24 = 0,5 ou cos(x) = -124 = -3
Como o valor de cos(x) deve estar entre -1 e 1, descartamos cos(x) = -3. Portanto, a única solução válida é cos(x) = 0,5.

Passo 9

Agora, precisamos encontrar todos os valores de x no intervalo [0, 4pi] onde cos(x) = 0,5. Sabemos que isso ocorre quando:
x = 2pi n pm pi3, onde n é um inteiro é

Passo 10

Vamos encontrar todas as soluções dentro do intervalo [0, 4pi]:
  • Para n = 0:
    x = pi3, x = 5pi3
  • Para n = 1:
    x = 2pi + pi3 = 7pi3, x = 2pi + 5pi3 = 11pi3
  • Para n = 2:
    x = 4pi + pi3 = 13pi3 (fora do intervalo)

Resposta

Existem 4 soluções da equação 2 sin^2(x) = 5 cos(x) - 1 no intervalo [0, 4pi], que são:
x = pi3, 5pi3, 7pi3, e 11pi3

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