Determine todas as soluções da equação
. Quantas soluções pertencem ao intervalo
?
Passo 1
Vamos analisar o problema: precisamos encontrar todas as soluções da equação
no intervalo
. Para resolver essa equação, vamos utilizar conhecimentos de trigonometria, especialmente as identidades trigonométricas que relacionam o seno e o cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante:
. Essa identidade nos permitirá expressar a equação apenas em termos de
, facilitando a resolução.
Passo 3
Substituindo
por
na equação original, temos:
Passo 4
Distribuindo o 2 dentro dos parênteses:
Passo 5
Vamos levar todos os termos para o lado esquerdo da equação para formar uma equação quadrática em termos de
:
Passo 6
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar a resolução:
Passo 7
Agora, temos uma equação quadrática na forma
, onde
,
e
. Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Passo 8
Calculando as duas possíveis soluções para
:
Como o valor de
deve estar entre -1 e 1, descartamos
. Portanto, a única solução válida é
.
Passo 9
Agora, precisamos encontrar todos os valores de
no intervalo
onde
. Sabemos que isso ocorre quando:
Passo 10
Vamos encontrar todas as soluções dentro do intervalo
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Resposta
Existem 4 soluções da equação
no intervalo
, que são: