Para cada função abaixo, determine os pontos de máximo e mínimo, os intervalos em que a função é crescente, decrescente e seus pontos de inflexão.
f(x)=xx+1.

Passo 1

A função dada é f(x)=\frac{x}{x+1}, cujo domínio é todos os reais exceto x=-1. Para analisar máximos, mínimos, monotonia e inflexão, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada e estudar seus sinais.

Passo 2

Calculando a primeira derivada: f’(x)=\frac{(x+1)\cdot1 - x\cdot1}{(x+1)2}=\frac{1}{(x+1)2}. Como (x+1)^2 é sempre positivo (exceto em x=-1, fora do domínio), temos f’(x)>0 para todo x no domínio. Logo, a função é estritamente crescente em (-∞,-1) e em (-1,∞).

Passo 3

Como f’(x) nunca se anula nem muda de sinal dentro do domínio, não existem pontos críticos e, consequentemente, não há máximos nem mínimos locais.

Passo 4

Agora a segunda derivada: f’’(x)=\frac{d}{dx}\bigl[(x+1){-2}\bigr]=-2,(x+1){-3}= -\frac{2}{(x+1)^3}. Para x<-1 temos (x+1)^3<0, então f’’(x)>0 (concavidade para cima). Para x>-1, (x+1)^3>0, então f’’(x)<0 (concavidade para baixo).

Passo 5

Ponto de inflexão ocorre onde f’’(x) muda de sinal e a função é contínua. Aqui a mudança daria em x=-1, mas como esse valor não pertence ao domínio de f, não há ponto de inflexão na função.

Resposta

Não há pontos de máximo nem mínimo. A função é crescente em (-∞,-1)∪(-1,∞) e não possui ponto de inflexão no domínio.

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